Intégrale de Gauss : convergence et valeur (admise).
Fonction \(\Gamma\) : définition, \(\Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x)\), \(\Gamma(n) = (n-1)!\).
Exemples de produits scalaires sur \(\mathbb{R}^n\), \(\mathscr{M}_{n,1}(\mathbb{R})\), \(\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\) et \(\mathscr{C}^0([a,b])\).
Inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalité ; inégalité triangulaire.
Théorème de Pythagore et sa généralisation.
Coordonnées d'un vecteur dans une base orthonormée.
Exercices traités
Convergence et calcul de \(\int_0^1 t^\alpha \ln t\,\mathrm{d}t\) pour \(\alpha > -1\).
Convergence et calcul de \(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|t|}\,\mathrm{d}t\).
Existence de \(\Gamma(x)\) et relation \(\Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x)\).
Calcul de \(\int_0^{+\infty} e^{-\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t\) avec \(u = \sqrt{t}\).
\((A, B) \mapsto \operatorname{tr}({}^t\!A\,B)\) est un produit scalaire sur \(\mathscr{M}_n(\mathbb{R})\).
\((P, Q) \mapsto \int_0^{+\infty} P(t)Q(t)e^{-t}\,\mathrm{d}t\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}[x]\).
Cauchy-Schwarz en probabilités : \(\mathbb{E}(X)^2 \leqslant \mathbb{E}(X^2)\).
Une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
À savoir pour cette semaine
La colle se termine par un exercice sur les intégrales impropres ou sur le début de l'algèbre bilinéaire (produit scalaire, Cauchy-Schwarz, orthogonalité, bases orthonormées).
Pas encore étudiés : le procédé de Gram-Schmidt, la relation \(E = F \oplus F^\perp\), les matrices orthogonales, les projections orthogonales et l'orthodiagonalisation.
Pas de colle la semaine du 16 novembre (concours blanc).