Intégrales impropres

Questions de cours

Théorème de comparaison et règle des équivalents pour les fonctions positives.
Nature des intégrales de Riemann selon \(\alpha\).
Convergence absolue : définition, lien avec la convergence ; règle de négligeabilité.
Intégrale de Gauss : convergence et valeur (admise).
Fonction \(\Gamma\) : définition, \(\Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x)\), \(\Gamma(n) = (n-1)!\).

Exercices traités

Convergence de \(\int_0^1 \frac{t-1}{\ln t}\,\mathrm{d}t\).
Convergence de \(\int_1^{+\infty} \frac{(\ln t)(\sin t)}{t^2}\,\mathrm{d}t\).
Calcul de \(\Gamma(1/2)\) par changement de variable.
Convergence et calcul de \(\int_0^1 t^\alpha \ln t\,\mathrm{d}t\) pour \(\alpha > -1\).
Convergence et calcul de \(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-|t|}\,\mathrm{d}t\).
Existence de \(\Gamma(x)\) et relation \(\Gamma(x+1) = x\,\Gamma(x)\).
Calcul de \(\int_0^{+\infty} e^{-\sqrt{t}}\,\mathrm{d}t\) avec \(u = \sqrt{t}\).