Somme de sous-espaces vectoriels, somme directe
1Somme de sous-espaces vectoriels
Soient \(E\) un espace vectoriel, \(p \in \mathbb{N}^*\), \(F_1, \dots, F_p\) des sous-espaces vectoriels de \(E\). On appelle somme des sous-espaces vectoriels \(F_1, \dots, F_p\), et on note \(F_1 + \cdots + F_p\) ou \(\displaystyle\sum_{i=1}^{p} F_i\), l'ensemble
ou encore \(F_1 + \cdots + F_p = \{x \in E \mid \exists (x_1, \dots, x_p) \in F_1 \times \cdots \times F_p,\ x = x_1 + \cdots + x_p\}\).
Par définition, un vecteur \(x\) de \(E\) appartient à la somme \(F_1 + \cdots + F_p\) s'il peut s'écrire comme somme d'un vecteur de \(F_1\), d'un vecteur de \(F_2\), …, d'un vecteur de \(F_p\).
Exemple Si \(u, v, w\) sont trois vecteurs d'un espace vectoriel \(E\), alors \(\Vect(u) + \Vect(v) + \Vect(w) = \Vect(u, v) + \Vect(w) = \Vect(u, v, w)\).
Soient \(E\) un espace vectoriel, \(p \in \mathbb{N}^*\), \(F_1, \dots, F_p\) des sous-espaces vectoriels de \(E\).
- \(F_1 + \cdots + F_p\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) contenant chacun des sous-espaces vectoriels \(F_1, \dots, F_p\).
- \(F_1 + \cdots + F_p\) est le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant chacun des sous-espaces \(F_1, \dots, F_p\).
2Somme directe de sous-espaces vectoriels
Soient \(E\) un espace vectoriel, \(p \in \mathbb{N}^*\), \(F_1, \dots, F_p\) des sous-espaces vectoriels de \(E\). On dit que la somme \(F_1 + \cdots + F_p\) est directe si tout vecteur du sous-espace vectoriel \(F_1 + \cdots + F_p\) peut s'écrire de façon unique comme somme d'un vecteur de \(F_1\), …, d'un vecteur de \(F_p\), autrement dit si :
Quand la somme \(F_1 + \cdots + F_p\) est directe, on la note \(F_1 \oplus \cdots \oplus F_p\), ou encore \(\displaystyle\bigoplus_{i=1}^{p} F_i\).
Exemple On a \(\mathbb{R}_3[X] = \Vect(X^3) \oplus \Vect(X^2) \oplus \Vect(X) \oplus \Vect(1)\).
Pour \(p \geqslant 3\), la notion de somme directe est plus délicate que celle rencontrée l'an dernier dans le cas \(p = 2\). En effet, il ne suffit pas d'avoir, pour tout couple \((i, j) \in \llbracket 1, p \rrbracket^2\) d'entiers distincts, \(F_i \cap F_j = \{0_E\}\) pour que les sous-espaces \(F_1, \dots, F_p\) soient en somme directe.
Il suffit de dessiner trois droites vectorielles \(F_1\), \(F_2\), \(F_3\) du plan, deux à deux distinctes : leurs intersections deux à deux sont réduites à \(\{0_E\}\), et pourtant la somme \(F_1 + F_2 + F_3\) n'est pas directe. Sur la figure, le vecteur \(u_1 + u_2\) de \(F_3\) s'écrit de deux façons différentes : \((u_1 + u_2) = 0 + 0 + (u_1 + u_2) = u_1 + u_2 + 0\), avec \(u_1 \in F_1\) et \(u_2 \in F_2\). D'ailleurs, trois droites ne peuvent pas être en somme directe dans un plan, qui est de dimension 2.
Soient \(E\) un espace vectoriel, \(p \in \mathbb{N}^*\), \(F_1, \dots, F_p\) des sous-espaces vectoriels de \(E\). Pour tout \(i \in \llbracket 1, p \rrbracket\), on suppose que \(\mathscr{L}_i\) est une famille de vecteurs de \(F_i\). Soit \(\mathscr{L}\) la famille obtenue en concaténant les familles \(\mathscr{L}_1, \dots, \mathscr{L}_p\). Alors :
Soient \(E\) un espace vectoriel, \(p \in \mathbb{N}^*\), \(F_1, \dots, F_p\) des sous-espaces vectoriels de \(E\). Pour tout \(i \in \llbracket 1, p \rrbracket\), on suppose \(F_i\) de dimension finie et on note \(\BB_i\) une base de \(F_i\) (si \(F_i = \{0_E\}\), on pose \(\BB_i = \varnothing\)). Soit \(\mathscr{F}\) la famille obtenue en concaténant \(\BB_1, \dots, \BB_p\). Alors :
Exemple La famille \((1 + X,\ X^2 - 1,\ 1 + X + X^2,\ X^3 - 1,\ X^3 + X^4)\) est libre (vérification facile), de cardinal 5 dans l'espace \(\mathbb{R}_4[X]\) de dimension 5, donc en constitue une base ; d'après la proposition précédente, on en déduit par exemple :
Soient \(E\) un espace vectoriel, \(p \in \mathbb{N}^*\), \(F_1, \dots, F_p\) des sous-espaces vectoriels de \(E\) en somme directe. Si chacun des sous-espaces \(F_1, \dots, F_p\) est de dimension finie, alors la somme \(F_1 \oplus F_2 \oplus \cdots \oplus F_p\) est de dimension finie égale à :
Changement de base pour un endomorphisme, matrices semblables
1Matrice de passage
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n \geqslant 1\), \(\BB = (e_1, \dots, e_n)\) et \(\BB' = (e'_1, \dots, e'_n)\) deux bases de \(E\). On appelle matrice de passage de la base \(\BB\) à la base \(\BB'\) la matrice carrée d'ordre \(n\) dont les vecteurs colonnes sont les vecteurs de la base \(\BB'\) exprimés dans la base \(\BB\) :
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie non nulle.
- Soient \(\BB\) et \(\BB'\) deux bases de \(E\). Alors \(P_{\BB,\BB'}\) est la matrice de l'identité \(\Id_E\) de \(\BB'\) dans \(\BB\), i.e. \(P_{\BB,\BB'} = \Mat_{\BB,\BB'}(\Id_E)\) (la \(j\)-ème colonne contient les coordonnées de \(\Id_E(e'_j) = e'_j\) dans la base \(\BB\)). En particulier, \(P_{\BB,\BB'}\) est inversible, d'inverse \((P_{\BB,\BB'})^{-1} = P_{\BB',\BB}\).
- Soient \(\BB\) une base de \(E\) et \(P\) une matrice de \(\MM_n(\mathbb{R})\) inversible. Alors : (i) il existe une base \(\BB'\) de \(E\) telle que \(P = P_{\BB,\BB'}\) ; (ii) il existe une base \(\BB''\) de \(E\) telle que \(P = P_{\BB'',\BB}\). En particulier, toute matrice inversible peut être vue comme une matrice de passage.
2Formules de changement de base
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n \geqslant 1\), \(\BB\) et \(\BB'\) deux bases de \(E\), \(x \in E\), \(X = \Mat_{\BB}(x)\) et \(X' = \Mat_{\BB'}(x)\). Alors :
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension finie non nulle, \(\BB\) et \(\BB'\) deux bases de \(E\), \(f \in \LL(E)\), \(A = \Mat_{\BB}(f)\) et \(A' = \Mat_{\BB'}(f)\). Posons \(P = P_{\BB,\BB'}\). Alors :
3Matrices semblables
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices carrées de \(\MM_n(\mathbb{R})\). On dit que les matrices \(A\) et \(B\) sont semblables s'il existe une matrice \(P\) de \(\MM_n(\mathbb{R})\) inversible telle que \(B = P^{-1} A P\).
- S'il existe une matrice \(P \in \GL_n(\mathbb{R})\) vérifiant \(B = P^{-1} A P\), alors il existe une matrice \(Q \in \GL_n(\mathbb{R})\) vérifiant \(A = Q^{-1} B Q\) (il suffit de poser \(Q = P^{-1}\)). Par conséquent, les matrices \(A\) et \(B\) jouent des rôles symétriques dans la définition ci-dessus. Ceci légitime la formulation « \(A\) et \(B\) sont semblables », qui accorde le même rôle aux matrices \(A\) et \(B\).
- La seule matrice de \(\MM_n(\mathbb{R})\) semblable à la matrice nulle est la matrice nulle.
- La seule matrice de \(\MM_n(\mathbb{R})\) semblable à la matrice identité \(I_n\) est la matrice identité \(I_n\).
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension finie non nulle, \(\BB\) une base de \(E\), \(f \in \LL(E)\), \(A = \Mat_{\BB}(f)\) et \(B \in \MM_n(\mathbb{R})\). Alors :
Trace d'une matrice carrée
1La trace est une forme linéaire
On appelle trace d'une matrice carrée \(A = (a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\), et on note \(\tr(A)\), la somme de ses éléments diagonaux :
On définit ainsi une application, appelée trace et notée \(\tr\), de \(\MM_n(\mathbb{R})\) dans \(\mathbb{R}\) : \(\tr : A \in \MM_n(\mathbb{R}) \longmapsto \tr(A) \in \mathbb{R}\).
La proposition suivante est claire :
La trace est une application linéaire de \(\MM_n(\mathbb{R})\) dans \(\mathbb{R}\), i.e. c'est une forme linéaire sur \(\MM_n(\mathbb{R})\).
2Deux matrices semblables ont même trace
Pour tout couple \((A, B)\) de matrices de \(\MM_n(\mathbb{R})\), on a :
Conséquence importante : deux matrices semblables ont même trace, c'est-à-dire
Exemple Les matrices \(\begin{pmatrix} 6 & 7 \\ -5 & -3 \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}\) n'ont pas même trace (3 et 4), donc ne sont pas semblables.
Éléments propres d'un endomorphisme, d'une matrice carrée
1Éléments propres d'un endomorphisme, d'une matrice
Soient \(E\) un espace vectoriel (pas nécessairement de dimension finie) et \(f\) un endomorphisme de \(E\).
- On appelle valeur propre de \(f\) tout réel \(\lambda\) tel qu'il existe un vecteur \(x\) non nul de \(E\) tel que \(f(x) = \lambda x\).
- On appelle vecteur propre de \(f\) tout vecteur \(x\) non nul de \(E\) tel qu'il existe un réel \(\lambda\) tel que \(f(x) = \lambda x\).
- On appelle spectre de \(f\), et on note \(\Sp(f)\), l'ensemble de toutes les valeurs propres de \(f\).
- Si \(\lambda\) est une valeur propre de \(f\), on appelle sous-espace propre de \(f\) associé à la valeur propre \(\lambda\) le sous-espace vectoriel \(\Ker(f - \lambda\Id_E) = \{x \in E \,;\, f(x) = \lambda x\}\) de \(E\), constitué du vecteur nul et des vecteurs propres de \(f\) associés à \(\lambda\). On le note aussi \(E_\lambda(f)\).
- Si \(\lambda\) est un réel et \(x\) un vecteur non nul de \(E\) tels que \(f(x) = \lambda x\), alors \(\lambda\) est une valeur propre de \(f\) et \(x\) un vecteur propre de \(f\), qui sont dits associés l'un à l'autre.
- Déterminer les éléments propres d'un endomorphisme, c'est déterminer ses valeurs propres et ses vecteurs propres.
- Si \(x\) est un vecteur propre associé à une valeur propre \(\lambda\) de \(f\), alors le vecteur \(x\) ne peut pas être associé à une autre valeur propre de \(f\) (vérification immédiate).
- Si \(x\) est un vecteur propre associé à la valeur propre \(\lambda\) et si \(\alpha\) est un réel non nul, alors \(\alpha x\) est encore un vecteur propre associé à \(\lambda\).
Soit \(A\) une matrice de \(\MM_n(\mathbb{R})\) (c'est donc une matrice carrée).
- On dit qu'un réel \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\) s'il existe une matrice colonne non nulle \(X\) de \(\MM_{n,1}(\mathbb{R})\) telle que \(AX = \lambda X\). On appelle spectre de \(A\) l'ensemble des valeurs propres de \(A\), et on le note \(\Sp(A)\).
- On dit qu'une matrice \(X\) non nulle de \(\MM_{n,1}(\mathbb{R})\) est un vecteur propre de \(A\) s'il existe un réel \(\lambda\) tel que \(AX = \lambda X\).
- Si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\), on appelle sous-espace propre de \(A\) associé à \(\lambda\) le sous-espace vectoriel \(\Ker(A - \lambda I_n)\) de \(\MM_{n,1}(\mathbb{R})\).
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n \geqslant 1\) muni d'une base \(\BB\), \(f \in \LL(E)\), \(A = \Mat_{\BB}(f)\), \(x \in E\) et \(X = \Mat_{\BB}(x)\). Alors :
- \(\Sp(f) = \Sp(A)\) ;
- \(\forall \lambda \in \Sp(f) = \Sp(A),\quad x \in E_\lambda(f) \iff X \in E_\lambda(A)\) ;
- si \(B\) est une matrice semblable à \(A\), alors \(\Sp(A) = \Sp(B)\) et, pour tout \(\lambda \in \Sp(A) = \Sp(B)\), on a \(\dim E_\lambda(A) = \dim E_\lambda(B)\).
2Caractériser les valeurs propres en dimension finie
La proposition suivante découle directement des propriétés étudiées en algèbre linéaire en première année :
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n \in \mathbb{N}^*\), \(f\) un endomorphisme de \(E\) et \(\lambda\) un réel. Les assertions suivantes sont équivalentes :
- \(\lambda \in \Sp(f)\) ;
- \(\Ker(f - \lambda\Id_E) \neq \{0_E\}\) ;
- \(\dim \Ker(f - \lambda\Id_E) \geqslant 1\) ;
- l'endomorphisme \(f - \lambda\Id_E\) n'est pas injectif ;
- l'endomorphisme \(f - \lambda\Id_E\) n'est pas bijectif ;
- l'endomorphisme \(f - \lambda\Id_E\) n'est pas surjectif ;
- \(\rg(f - \lambda\Id_E) \lt n\).
On peut traduire cette dernière proposition en termes matriciels :
Soient \(n \in \mathbb{N}^*\), \(A \in \MM_n(\mathbb{R})\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\). Les assertions suivantes sont équivalentes :
- \(\lambda \in \Sp(A)\) ;
- \(\Ker(A - \lambda I_n) \neq \{0_{\MM_{n,1}(\mathbb{R})}\}\) ;
- \(\dim \Ker(A - \lambda I_n) \geqslant 1\) ;
- \(A - \lambda I_n \notin \GL_n(\mathbb{R})\) ;
- \(\rg(A - \lambda I_n) \lt n\).
Remarque. On observe en particulier les équivalences suivantes, dans le cas où \(f\) est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie et \(A\) une matrice carrée :
3Le cas des matrices triangulaires
Les valeurs propres d'une matrice triangulaire sont exactement ses coefficients diagonaux. Conséquence : si une matrice carrée \(A\) est semblable à une matrice triangulaire \(T\), les coefficients diagonaux de \(T\) sont exactement les valeurs propres de \(A\).
Une matrice diagonale étant en particulier triangulaire, on en déduit aisément son spectre.
4Éléments propres et polynômes d'endomorphismes
Soient \(f\) un endomorphisme d'un espace vectoriel \(E\), \(A \in \MM_n(\mathbb{R})\) une matrice carrée, \(Q = \displaystyle\sum_{k=0}^{p} a_k X^k\) un polynôme. On rappelle que l'on note \(f^0 = \Id_E\) et, pour tout \(k \in \mathbb{N}^*\), \(f^k = \underbrace{f \circ \cdots \circ f}_{k \text{ fois}}\).
Par définition, \(Q(f)\) désigne l'endomorphisme \(Q(f) = \displaystyle\sum_{k=0}^{p} a_k f^k\). De même, \(Q(A)\) est, par définition, la matrice de \(\MM_n(\mathbb{R})\) définie par \(Q(A) = \displaystyle\sum_{k=0}^{p} a_k A^k\).
Observation Si \(f\) est un endomorphisme d'un espace vectoriel \(E\), \(x\) un vecteur de \(E\) et \(\lambda\) un réel, alors
donc \(\lambda \in \Sp(f) \implies \lambda^2 \in \Sp(f^2)\) et \(x \in E_\lambda(f) \implies x \in E_{\lambda^2}(f^2)\). Ainsi, si \(\lambda\) est valeur propre de \(f\), alors \(\lambda^2\) est valeur propre de \(f^2\), et si \(x\) est un vecteur propre de \(f\), alors c'est un vecteur propre de \(f^2\). Par une récurrence immédiate, on montre, pour tout entier naturel non nul \(k\) :
donc :
L'implication réciproque n'est pas toujours vérifiée ! Par exemple, si \(E\) est un espace vectoriel non réduit à \(\{0_E\}\) et \(f = -\Id_E\), alors \(f^2 = \Id_E\). Pour \(\lambda = 1\), on a \(\lambda^2 \in \Sp(f^2)\) mais \(\lambda \notin \Sp(f)\).
La proposition qui suit généralise l'observation qui vient d'être faite.
Soient \(E\) un espace vectoriel, \(f\) un endomorphisme de \(E\) et \(Q\) un polynôme à coefficients réels. Soient \(x \in E\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\). Alors :
En particulier, si \(x\) est un vecteur propre de \(f\) associé à la valeur propre \(\lambda\), alors \(x\) est aussi un vecteur propre de l'endomorphisme \(Q(f)\) associé à la valeur propre \(Q(\lambda)\).
Soient \(f\) un endomorphisme d'un espace vectoriel \(E\), \(A \in \MM_n(\mathbb{R})\) une matrice carrée et \(Q\) un polynôme. On dit que \(Q\) est un polynôme annulateur de \(f\) si \(Q(f) = 0_{\LL(E)}\). On dit que \(Q\) est un polynôme annulateur de \(A\) si \(Q(A) = 0\) (la matrice nulle de \(\MM_n(\mathbb{R})\)).
Tout endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie admet un polynôme annulateur non nul. Toute matrice de \(\MM_n(\mathbb{R})\) admet un polynôme annulateur non nul.
Soient \(E\) un espace vectoriel, \(f\) un endomorphisme de \(E\) et \(Q\) un polynôme annulateur de \(f\). Alors toute valeur propre de \(f\) est racine de \(Q\). Autrement dit :
Soient \(A\) une matrice carrée et \(Q\) un polynôme annulateur de \(A\). Alors toute valeur propre de \(A\) est racine de \(Q\) : \(\Sp(A) \subset \{\text{racines de } Q\}\).
- On a déjà utilisé ce résultat dans un cas particulier : un projecteur \(p \in \LL(E)\) vérifie \(p^2 - p = 0_{\LL(E)}\), donc le polynôme \(Q = X^2 - X = X(X - 1)\) est annulateur de \(p\), d'où l'inclusion \(\Sp(p) \subset \{0, 1\}\).
- Trouver un polynôme annulateur d'un endomorphisme est un moyen intéressant, dans la pratique, de s'épargner des calculs fastidieux de valeurs propres. Une fois trouvées les racines (si on parvient à les trouver !) du polynôme annulateur, il « suffit » de vérifier si chacune d'elles est ou non valeur propre de l'endomorphisme.
La réciproque est fausse : si \(Q\) est un polynôme annulateur d'un endomorphisme \(f\) ou d'une matrice carrée \(A\), toute racine de \(Q\) n'est pas nécessairement une valeur propre de \(f\) ou de \(A\). Par exemple, si \(p\) est un projecteur, \(Q = X(X - 1)(X - 2)\) est un polynôme annulateur de \(p\) ; le réel 2 est racine de \(Q\) mais n'est pas valeur propre de \(p\).
5Les sous-espaces propres sont en somme directe
Soient \(E\) un espace vectoriel (pas nécessairement de dimension finie) et \(f \in \LL(E)\). On suppose que \(\lambda_1, \dots, \lambda_p\) sont des valeurs propres de \(f\) deux à deux distinctes. Alors les sous-espaces propres \(E_{\lambda_1}(f), \dots, E_{\lambda_p}(f)\) sont en somme directe :
Formulation équivalente : on suppose que \(\mathscr{L}_1, \dots, \mathscr{L}_p\) sont des familles libres de vecteurs appartenant respectivement aux sous-espaces propres \(E_{\lambda_1}(f), \dots, E_{\lambda_p}(f)\). Alors la famille \(\mathscr{L}\) de vecteurs obtenue en concaténant les familles \(\mathscr{L}_1, \dots, \mathscr{L}_p\) est libre.
Cas particulier où chaque famille \(\mathscr{L}_i\) est réduite à un unique vecteur non nul : une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est libre.
Exemple Si les réels \(r_1, \dots, r_n\) sont deux à deux distincts, alors la famille \(\mathscr{F} = (f_{r_1}, \dots, f_{r_n})\) de fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définies pour tout \(i \in \llbracket 1, n \rrbracket\) par \(f_{r_i} : x \mapsto e^{r_i x}\) est une famille libre. En effet, on peut remarquer que chacune des fonctions \(f_{r_i}\) est un vecteur propre de l'endomorphisme de dérivation \(D : f \in \mathscr{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \mapsto f' \in \mathscr{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})\), associé à la valeur propre \(r_i\).
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension finie non nulle \(n\) et \(f\) un endomorphisme de \(E\). Alors :
Si \(E\) est un espace vectoriel de dimension finie \(n \geqslant 1\), tout endomorphisme de \(E\) possède au plus \(n\) valeurs propres. Matriciellement : \(A \in \MM_n(\mathbb{R}) \implies \Card(\Sp(A)) \leqslant n\).
Diagonalisation des endomorphismes en dimension finie et des matrices carrées
1Définitions
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n\) non nulle. On dit que l'endomorphisme \(f\) est diagonalisable s'il existe une base \((e_1, \dots, e_n)\) de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) est diagonale. Ainsi, l'endomorphisme \(f\) est diagonalisable si et seulement si \(E\) admet une base de vecteurs propres pour \(f\).
Si \(\BB = (e_1, \dots, e_n)\) est une base de vecteurs propres de \(f\) associés respectivement aux valeurs propres \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\), la matrice de \(f\) dans la base \(\BB\) est diagonale :
La \(j\)-ème colonne contient les coordonnées de \(f(e_j) = \lambda_j e_j\).
Réciproquement, si la matrice de \(f\) dans une base \(\BB = (e_1, \dots, e_n)\) est diagonale, alors chacun des vecteurs \(e_1, \dots, e_n\) est vecteur propre de \(f\).
Soit \(A \in \MM_n(\mathbb{R})\). On dit que la matrice \(A\) est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension finie non nulle \(n\), \(f \in \LL(E)\), \(\BB\) une base de \(E\) et \(A = \Mat_{\BB}(f)\). Alors :
2Exemples de matrices diagonalisables et non diagonalisables
Quelques exemples de référence, qui découlent directement des résultats de ce chapitre :
- Les matrices diagonales sont diagonalisables (elles sont semblables à elles-mêmes).
- Les projecteurs d'un espace de dimension finie sont diagonalisables (voir l'exemple d'application de la section 4).
- La matrice \(R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) n'est pas diagonalisable : pour tout réel \(\lambda\), \(\det(R - \lambda I_2) = \lambda^2 + 1 \neq 0\), donc \(R - \lambda I_2\) est inversible et \(R\) n'a aucune valeur propre réelle. Une matrice semblable à une matrice diagonale \(D\) aurait les coefficients diagonaux de \(D\) pour valeurs propres.
- La matrice \(N = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) n'est pas diagonalisable : elle est triangulaire, donc \(\Sp(N) = \{0\}\) ; si elle était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice nulle, donc égale à la matrice nulle, ce qui n'est pas le cas.
3Une condition suffisante de diagonalisabilité
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension finie non nulle \(n\) et \(f\) un endomorphisme de \(E\). Si l'endomorphisme \(f\) admet \(n\) valeurs propres distinctes, alors il est diagonalisable :
De plus, les sous-espaces propres sont tous des droites vectorielles. En termes matriciels : pour toute matrice \(A \in \MM_n(\mathbb{R})\), \(\Card(\Sp(A)) = n \implies A\) diagonalisable.
4Une condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité
Rappelons la convention, qui n'est pas propre à ce chapitre : \(\displaystyle\sum_{i \in \varnothing} u_i = 0\).
Soient \(E\) un espace vectoriel de dimension finie non nulle \(n\) et \(f\) un endomorphisme de \(E\). Alors :
Traduction matricielle. Soit \(A \in \MM_n(\mathbb{R})\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
Exempleles projecteurs. On a démontré, dans les rappels sur les projecteurs, que si \(p\) est un projecteur d'un espace vectoriel \(E\), alors \(E = \Img p \oplus \Ker p\) et \(\Img p = \{x \in E \,;\, p(x) = x\}\), autrement dit \(\Img p = \Ker(p - \Id_E)\), donc \(E = \Ker(p - \Id_E) \oplus \Ker p\). Supposons de plus l'espace \(E\) de dimension finie.
- Si \(p = 0_{\LL(E)}\), alors évidemment \(p\) est diagonalisable.
- Si \(p = \Id_E\), alors évidemment \(p\) est diagonalisable.
- Si \(p \neq 0_{\LL(E)}\) et \(p \neq \Id_E\), alors l'égalité ci-dessus s'écrit \(E = E_1(p) \oplus E_0(p)\). La condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité montre que le projecteur \(p\) est diagonalisable.
- 1Valeurs propresChercher les \(\lambda\) pour lesquels \(A - \lambda I_n\) n'est pas inversible.
- 2Sous-espaces propresRésoudre \((A - \lambda I_n)X = 0\) pour chaque valeur propre.
- 3CompterLa somme des dimensions vaut-elle \(n\) ? Sinon, \(A\) n'est pas diagonalisable.
- 4Écrire \(P\) et \(D\)Vecteurs propres en colonnes dans \(P\), valeurs propres dans le même ordre sur la diagonale de \(D\).
5Le cas des matrices symétriques à coefficients réels
On admet le théorème qui suit. On y reviendra plus tard dans l'année, en en donnant une version plus précise :
Toute matrice symétrique réelle est diagonalisable.
Application de la diagonalisation au calcul des puissances d'une matrice
1Puissances d'une matrice diagonalisable
Si \(A \in \MM_n(\mathbb{R})\) est diagonalisable, il existe une matrice \(D \in \MM_n(\mathbb{R})\) diagonale et une matrice \(P \in \GL_n(\mathbb{R})\) vérifiant \(A = PDP^{-1}\). Ainsi, on obtient
puis, par une récurrence immédiate :
Si de plus la matrice \(A\) est inversible, alors la matrice \(D\) l'est aussi (en tant que produit de matrices inversibles : \(D = P^{-1}AP\)), et on a :
Puis, par une récurrence immédiate, \(\forall k \in \mathbb{N},\ (A^{-1})^k = P(D^{-1})^kP^{-1}\). Ainsi, dans le cas où la matrice \(A\) est inversible, on a :
- \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\) est symétrique réelle, donc diagonalisable (proposition 24).
- \(A\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) et \(A\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\), donc \(\Sp(A) = \{3, -1\}\).
- \(P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\), \(D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) et \(P^{-1} = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\).
- D'où, pour tout \(k \in \mathbb{N}\) :
2Avantages et limites de la méthode
- Avantage : les puissances d'une matrice diagonale se calculent immédiatement : il suffit d'élever chaque coefficient diagonal à la puissance \(k\).
- Inconvénients : la méthode nécessite de calculer les éléments propres de \(A\) (sauf cas particuliers), ainsi que la matrice inverse \(P^{-1}\). De plus, toutes les matrices ne sont pas diagonalisables.
Il existe d'autres techniques, exposées en première année (voir aussi la fiche de révisions d'algèbre linéaire, en particulier le binôme de Newton), de calcul des puissances d'une matrice carrée, qui peuvent être plus efficaces que la diagonalisation.