Soient \(E\) un espace vectoriel, \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\) supplémentaires : \(E = F \oplus G\). Ainsi, tout vecteur \(x\) de \(E\) se décompose de façon unique sous la forme \(x = x_F + x_G\), où \(x_F\) est un vecteur de \(F\) et \(x_G\) un vecteur de \(G\). Plus formellement, pour tout \(x \in E\), il existe un unique couple \((x_F, x_G) \in F \times G\) tel que \(x = x_F + x_G\).
La projection \(p_{F,G}\) sur \(F\) parallèlement à \(G\) est l'application :
Le vecteur \(p_{F,G}(x) = x_F\) est appelé le projeté du vecteur \(x\) sur \(F\) parallèlement à \(G\). En particulier, on a :
Illustration dans le cas où \(F\) et \(G\) sont deux droites vectorielles distinctes de \(E = \mathbb{R}^2\) :
1. Soit \(E\) un espace vectoriel. Alors :
- l'application nulle \(0_{\LL(E)} : x \in E \mapsto 0_E\) est une projection : c'est la projection sur le sous-espace \(\{0_E\}\) parallèlement à \(E\) ;
- l'application identité \(\Id_E\) est une projection : c'est la projection sur le sous-espace \(E\) parallèlement à \(\{0_E\}\).
2. Dans l'espace vectoriel \(E = \mathbb{R}^2\), considérons la base canonique \((e_1, e_2)\) et les deux droites vectorielles \(D_1 = \Vect(e_1)\) et \(D_2 = \Vect(e_2)\). On a clairement \(\mathbb{R}^2 = D_1 \oplus D_2\). Pour tout vecteur \(u = (x, y)\) de \(\mathbb{R}^2\), l'unique décomposition de \(u\) selon \(D_1\) et \(D_2\) s'écrit :
Autrement dit, l'application \(p_1 : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto (x, 0) \in \mathbb{R}^2\) est la projection sur \(D_1\) parallèlement à \(D_2\) : elle est dite première projection canonique. L'application \(p_2 : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto (0, y) \in \mathbb{R}^2\) est la projection sur \(D_2\) parallèlement à \(D_1\) : elle est dite deuxième projection canonique.
3. Considérons :
- \(\mathscr{T}_n(\mathbb{R})\) le sous-espace vectoriel de \(\MM_n(\mathbb{R})\) formé des matrices triangulaires supérieures ;
- \(\mathscr{T}_n^+(\mathbb{R})\) le sous-espace vectoriel de \(\MM_n(\mathbb{R})\) formé des matrices triangulaires supérieures strictes, c'est-à-dire comportant exclusivement des 0 sur la diagonale ;
- \(\mathscr{D}_n(\mathbb{R})\) le sous-espace vectoriel de \(\MM_n(\mathbb{R})\) formé des matrices diagonales.
On vérifie immédiatement que \(\mathscr{T}_n(\mathbb{R}) = \mathscr{T}_n^+(\mathbb{R}) \oplus \mathscr{D}_n(\mathbb{R})\). Pour fixer les idées, considérons le cas \(n = 3\). Toute matrice triangulaire supérieure se décompose sous la forme \(T = T^+ + D\) :
Cette décomposition est clairement unique (par exemple parce que \(\mathscr{T}_n^+(\mathbb{R}) \cap \mathscr{D}_n(\mathbb{R}) = \{0\}\) : la seule matrice à la fois triangulaire supérieure stricte et diagonale est la matrice nulle). La projection sur \(\mathscr{T}_3^+(\mathbb{R})\) parallèlement à \(\mathscr{D}_3(\mathbb{R})\) est l'application \(T \mapsto T^+\), et la projection sur \(\mathscr{D}_3(\mathbb{R})\) parallèlement à \(\mathscr{T}_3^+(\mathbb{R})\) est l'application \(T \mapsto D\) :
Si \(F\) et \(G\) sont deux sous-espaces vectoriels de \(E\) supplémentaires, connaître la projection \(p_{F,G}\) sur \(F\) parallèlement à \(G\) revient à connaître la projection \(p_{G,F}\) sur \(G\) parallèlement à \(F\). En effet, en reprenant les notations de la définition, on a, pour tout vecteur \(x\) de \(E\), \(x = x_F + x_G = p_{F,G}(x) + p_{G,F}(x)\), autrement dit :
Soient \(E\) un espace vectoriel, \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\) supplémentaires. La projection \(p_{F,G}\) sur \(F\) parallèlement à \(G\) vérifie les propriétés suivantes :
- \(p_{F,G}\) est une application linéaire ; c'est un endomorphisme de \(E\) ;
- \(\Img(p_{F,G}) = \underbrace{\{x \in E \,;\, p_{F,G}(x) = x\}}_{\text{vecteurs invariants par } p_{F,G}} = F\) ;
- \(\Ker(p_{F,G}) = G\).
Ainsi, toute projection \(p\) est la projection sur \(\Img p\) parallèlement à \(\Ker p\).
- Supposons de plus l'espace \(E\) de dimension finie \(n \in \mathbb{N}^*\). Notons \(r = \dim F \in \llbracket 0, n \rrbracket\). Soient \(\BB_F\) une base de \(F\), \(\BB_G\) une base de \(G\) et \(\BB\) la base de \(E\) obtenue en concaténant les familles \(\BB_F\) et \(\BB_G\). La matrice de la projection \(p_{F,G}\) dans la base \(\BB\) est alors la matrice diagonale
\[J_{n,n,r} = \begin{pmatrix} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & & 0 & & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_r & 0_{r,n-r} \\ 0_{n-r,r} & 0_{n-r,n-r} \end{pmatrix} \in \MM_n(\mathbb{R})\]dont les \(r\) premiers coefficients diagonaux sont égaux à 1 et les autres sont nuls.
Soient \(E\) un espace vectoriel, \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\) supplémentaires.
1. Linéarité. Soient \(x\) et \(x'\) deux vecteurs de \(E\) et \(\lambda\) un réel. Il existe un unique couple \((x_F, x_G) \in F \times G\) tel que \(x = x_F + x_G\). Comme on l'a vu plus haut, le vecteur \(x_F\) s'écrit \(p_{F,G}(x)\), d'où :
Il en résulte :
Comme \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), il est stable par combinaison linéaire, d'où \(\lambda p_{F,G}(x) + p_{F,G}(x') \in F\). De même, comme \(G\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), on a \(\lambda(x - p_{F,G}(x)) + x' - p_{F,G}(x') \in G\). D'autre part :
Par hypothèse, \(E = F \oplus G\) ; ainsi, la décomposition du vecteur \(\lambda x + x'\) comme somme d'un vecteur de \(F\) et d'un vecteur de \(G\) est unique. On peut donc identifier les vecteurs intervenant dans les expressions (1) et (2), ce qui fournit \(p_{F,G}(\lambda x + x') = \lambda p_{F,G}(x) + p_{F,G}(x')\). Ceci montre que \(p_{F,G}\) est bien linéaire ; c'est un endomorphisme de \(E\).
2. Image. Soit \(x \in E\). On a vu que \(x = \underbrace{p_{F,G}(x)}_{\in F} + \underbrace{(x - p_{F,G}(x))}_{\in G}\). Ainsi, on obtient l'équivalence \(p_{F,G}(x) = x \iff x \in F\), d'où \(\{x \in E \,;\, p_{F,G}(x) = x\} = F\).
L'inclusion \(\{x \in E \,;\, p_{F,G}(x) = x\} \subset \Img p_{F,G}\) est évidente. Réciproquement, soit \(y \in \Img p_{F,G}\) ; c'est donc un élément de \(F\). Comme tous les vecteurs de \(E\), \(y\) se décompose comme somme d'un vecteur de \(F\) et d'un vecteur de \(G\) :
L'unicité de la décomposition de \(y\) comme somme d'un vecteur de \(F\) et d'un vecteur de \(G\) permet d'identifier les vecteurs des membres de droite de (3) et (4) : \(p_{F,G}(y) = y\), et donc \(y \in \{x \in E \,;\, p_{F,G}(x) = x\}\). L'inclusion \(\Img p_{F,G} \subset \{x \in E \,;\, p_{F,G}(x) = x\}\) est démontrée. Finalement, l'égalité \(\Img p_{F,G} = \{x \in E \,;\, p_{F,G}(x) = x\}\) est démontrée.
3. Noyau. Soit \(x \in E\). Écrivons de nouveau l'identité \(x = \underbrace{p_{F,G}(x)}_{= x_F \in F} + \underbrace{(x - p_{F,G}(x))}_{= x_G \in G}\). On a alors :
Ceci démontre l'identité \(\Ker p_{F,G} = G\).
4. Matrice. La relation \(F \oplus G = E\) montre que la famille \(\BB\) obtenue en concaténant les bases \(\BB_F\) de \(F\) et \(\BB_G\) de \(G\) est une base de \(E\). Notons \(\BB_F = (u_1, \dots, u_r)\) et \(\BB_G = (u_{r+1}, \dots, u_n)\). Tout vecteur de \(F\) est invariant par la projection \(p_{F,G}\) (d'après le point 2), donc pour tout \(i \in \llbracket 1, r \rrbracket\), \(p(u_i) = u_i\) : ceci fournit les \(r\) premières colonnes de la matrice de \(p_{F,G}\) dans la base \(\BB\). Tout vecteur de \(G\) appartient au noyau de \(p_{F,G}\) (d'après le point 3) ; ainsi, pour tout \(i \in \llbracket r+1, n \rrbracket\), \(p(u_i) = 0_E\) : ceci fournit les \(n - r\) dernières colonnes. On obtient bien la matrice \(J_{n,n,r}\) souhaitée.
Soient \(E\) un espace vectoriel et \(p : E \to E\) une application. On dit que \(p\) est un projecteur si \(p\) est linéaire et vérifie \(p \circ p = p\).
- Toute projection est un projecteur.
- Tout projecteur est une projection. Plus précisément, tout projecteur \(p\) est la projection sur \(\Img p\) parallèlement à \(\Ker p\). Autrement dit, pour tout \(p \in \LL(E)\) :
Soient \(E\) un espace vectoriel, \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\) supplémentaires. Notons \(p_{F,G}\) la projection sur \(F\) parallèlement à \(G\). Soit \(x \in E\). Il existe un unique couple \((x_F, x_G) \in F \times G\) tel que \(x = x_F + x_G\). Par définition de la projection, \(p_{F,G}(x) = x_F\). La décomposition du vecteur \(x_F\) selon \(F\) et \(G\) est triviale : \(x_F = \underbrace{x_F}_{\in F} + \underbrace{0_E}_{\in G}\). On en déduit :
Ainsi, on a démontré que \(p_{F,G} \circ p_{F,G} = p_{F,G}\), ce qui prouve, \(p_{F,G}\) étant linéaire, que \(p_{F,G}\) est un projecteur.
Comme pour les projections et les projecteurs, on donne ici deux définitions qui paraissent différentes mais qui vont s'avérer équivalentes. Soit \(E\) un espace vectoriel.
- On suppose que \(F\) et \(G\) sont deux sous-espaces vectoriels de \(E\) supplémentaires. Ainsi, tout vecteur \(x\) de \(E\) se décompose de façon unique sous la forme \(x = x_F + x_G\), où \(x_F\) est un vecteur de \(F\) et \(x_G\) un vecteur de \(G\). On appelle symétrie par rapport à \(F\) parallèlement à \(G\) l'application :
\[s_{F,G} : \begin{array}{rcl} E & \longrightarrow & E \\ x = x_F + x_G & \longmapsto & s_{F,G}(x) = x_F - x_G. \end{array}\]
- On appelle symétrie de \(E\) tout endomorphisme \(s \in \LL(E)\) tel que \(s \circ s = \Id_E\).
- Soit \(E\) un espace vectoriel. L'application identité \(\Id_E\) est une symétrie. Plus précisément, c'est la symétrie par rapport à \(E\) parallèlement à \(\{0_E\}\).
- Dans l'espace vectoriel \(E = \mathbb{R}^2\), considérons la base canonique \((e_1, e_2)\) et les deux droites vectorielles \(D_1 = \Vect(e_1)\) et \(D_2 = \Vect(e_2)\). On a \(\mathbb{R}^2 = D_1 \oplus D_2\), et pour tout vecteur \(u = (x, y)\) de \(\mathbb{R}^2\), \(u = \underbrace{(x, 0)}_{\in D_1} + \underbrace{(0, y)}_{\in D_2}\). L'application \(s : (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto (x, -y) \in \mathbb{R}^2\) est la symétrie par rapport à la droite \(D_1\) parallèlement à la droite \(D_2\). L'ensemble des vecteurs invariants par cette symétrie est \(\{u \in \mathbb{R}^2 \,;\, s(u) = u\} = \Ker(s - \Id_E) = D_1\), tandis que l'ensemble des vecteurs transformés en leur opposé est \(\{u \in \mathbb{R}^2 \,;\, s(u) = -u\} = \Ker(s + \Id_E) = D_2\).
- L'application « transposition » \(T : A \in \MM_n(\mathbb{R}) \mapsto {}^tA \in \MM_n(\mathbb{R})\) est une symétrie. L'ensemble des vecteurs invariants par cette symétrie est le sous-espace vectoriel des matrices symétriques :
\[\{A \in \MM_n(\mathbb{R}) \,;\, {}^tA = A\} = \Ker(T - \Id_{\MM_n(\mathbb{R})}) = \mathscr{S}_n(\mathbb{R}),\]tandis que l'ensemble des vecteurs transformés en leur opposé est le sous-espace vectoriel des matrices antisymétriques :\[\{A \in \MM_n(\mathbb{R}) \,;\, {}^tA = -A\} = \Ker(T + \Id_{\MM_n(\mathbb{R})}) = \mathscr{A}_n(\mathbb{R}).\]
- Toute symétrie est un automorphisme vérifiant \(s^{-1} = s\).
- Si l'espace vectoriel \(E\) est de dimension finie \(n \in \mathbb{N}^*\), en notant \(\BB_F\) une base de \(F\), \(r = \dim F = \Card(\BB_F)\), \(\BB_G\) une base de \(G\) et \(\BB\) la base de \(E\) obtenue en concaténant les familles \(\BB_F\) et \(\BB_G\), la matrice de la symétrie \(s_{F,G}\) dans la base \(\BB\) est la matrice diagonale
\[\begin{pmatrix} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & & & \\ & & & -1 & & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_r & 0_{r,n-r} \\ 0_{n-r,r} & -I_{n-r} \end{pmatrix} \in \MM_n(\mathbb{R})\]dont les \(r\) premiers coefficients diagonaux sont égaux à 1 et les autres à \(-1\).
Soit \(E\) un espace vectoriel. Soit \(p \in \LL(E)\) ; alors \(p\) est un projecteur si et seulement si \(s = 2p - \Id_E\) est une symétrie.
Dit autrement : soit \(s \in \LL(E)\) ; alors \(s\) est une symétrie si et seulement si \(p = \frac{1}{2}(s + \Id_E)\) est un projecteur.
Démonstration. Soit \(s \in \LL(E)\). Posons \(p = \frac{1}{2}(s + \Id_E)\). On calcule :
On en déduit l'équivalence :
L'équivalence est démontrée.
On en déduit, en utilisant aussi les résultats des propositions 2 et 3, en notant \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de \(E\) :
Soit \(E\) un espace vectoriel.
- On suppose que \(F\) et \(G\) sont deux sous-espaces vectoriels de \(E\) supplémentaires. Soit \(s_{F,G}\) la symétrie par rapport à \(F\) parallèlement à \(G\). Alors l'application \(s_{F,G}\) est une symétrie, au sens où c'est un endomorphisme de \(E\) vérifiant \(s_{F,G} \circ s_{F,G} = \Id_E\).
- Réciproquement, si \(s\) est une symétrie de \(E\), c'est-à-dire un endomorphisme de \(E\) vérifiant \(s \circ s = \Id_E\), alors c'est la symétrie par rapport au sous-espace vectoriel \(F = \{x \in E \,;\, s(x) = x\} = \Ker(s - \Id_E)\) parallèlement au sous-espace vectoriel \(G = \{x \in E \,;\, s(x) = -x\} = \Ker(s + \Id_E)\).
Démonstration. On peut, au choix, imiter la démonstration analogue sur les projections et projecteurs, ou bien s'appuyer sur l'équivalence des définitions de projection et projecteur ; c'est cette deuxième possibilité que l'on développe ici.
1. Supposons \(E = F \oplus G\). Ainsi, pour tout \(x \in E\), il existe un unique couple \((x_F, x_G) \in F \times G\) tel que \(x = x_F + x_G\). Par définition de la symétrie par rapport à \(F\) parallèlement à \(G\), on a \(s_{F,G}(x) = x_F - x_G = \underbrace{x_F}_{\in F} + \underbrace{(-x_G)}_{\in G}\), d'où :
Ceci démontre l'identité \(s_{F,G} \circ s_{F,G} = \Id_E\), ce qui montre que \(s_{F,G}\) est une symétrie de \(E\) (au sens de la deuxième définition).
2. Réciproquement, soit \(s\) une symétrie de \(E\), c'est-à-dire un endomorphisme de \(E\) vérifiant \(s \circ s = \Id_E\). D'après la proposition précédente, l'endomorphisme \(p = \frac{1}{2}(s + \Id_E)\) est un projecteur de \(E\). L'endomorphisme \(p\) est donc la projection sur \(\Ker(p - \Id_E) = \Ker(s - \Id_E)\) parallèlement à \(\Ker(p) = \Ker(s + \Id_E)\). L'application \(s = 2p - \Id_E\) est donc la symétrie par rapport à \(F = \Ker(s - \Id_E)\) parallèlement à \(G = \Ker(s + \Id_E)\).