L'algèbre linéaire

Un espace vectoriel \(E\) est un ensemble non vide dans lequel on peut effectuer des calculs de deux types :

• l'addition de deux éléments de \(E\), appelés les vecteurs ;
• la multiplication d'un vecteur de \(E\) par un réel ; on parle de multiplication externe.

On se reportera au cours de première année pour une définition précise d'un espace vectoriel.

On travaillera presque exclusivement dans l'un des espaces vectoriels usuels suivants :

1. Dans la pratique, on peut rassembler les points 2 et 3 en vérifiant la stabilité par combinaison linéaire : pour tout couple \((x, y)\) de vecteurs de \(F\) et tout réel \(\lambda\), le vecteur \(\lambda x + y\) appartient à \(F\).
2. Un sous-espace vectoriel est un espace vectoriel.
3. Si \(E\) est un espace vectoriel, \(\{0_E\}\) et \(E\) sont des sous-espaces vectoriels de \(E\), dits triviaux.
4. Si \(E\) est un espace vectoriel et si \(u\) est un vecteur de \(E\), la partie \(\{u\}\) n'est pas un sous-espace vectoriel de \(E\), sauf si \(u = 0_E\).
5. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), l'ensemble \(\mathbb{R}_n[x]\) des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}[x]\).

1. Un espace vectoriel qui contient un vecteur non nul \(u\) contient nécessairement la droite vectorielle \(\Vect(u)\). Autrement dit, \(\Vect(u)\) est le plus petit (au sens de l'inclusion) sous-espace vectoriel de \(E\) contenant le vecteur \(u\).
2. De même, le plan vectoriel engendré par \(u\) et \(v\) est le plus petit (au sens de l'inclusion) sous-espace vectoriel de \(E\) contenant les vecteurs \(u\) et \(v\).

1. Si \(E\) est un espace vectoriel non réduit à \(\{0_E\}\), l'ensemble des combinaisons linéaires d'un vecteur \(u\) non nul de \(E\) est la droite vectorielle \(\Vect(u)\) engendrée par \(u\).
2. Tout vecteur \(u = (x, y)\) de \(\mathbb{R}^2\) est combinaison linéaire des deux vecteurs \((1, 0)\) et \((0, 1)\) ; en effet, \((x, y) = x(1, 0) + y(0, 1)\). Tout vecteur \(u = (x, y)\) de \(\mathbb{R}^2\) est aussi combinaison linéaire des deux vecteurs \((1, 1)\) et \((2, -5)\) : en résolvant l'équation vectorielle \(u = \lambda(1, 1) + \mu(2, -5)\), d'inconnue \((\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2\), qui équivaut au système \(\left\{\begin{array}{l} x = \lambda + 2\mu \\ y = \lambda - 5\mu \end{array}\right.\), on obtient \(u = (x, y) = \dfrac{5x + 2y}{7}(1, 1) + \dfrac{x - y}{7}(2, -5)\).
3. Tout polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}[x]\) est combinaison linéaire des polynômes \(1, X, \dots, X^n\), pour tout \(n \geqslant \deg P\).

1. Si \(u\) est un vecteur non nul d'un espace vectoriel \(E\), tout vecteur \(v\) non nul colinéaire à \(u\) est générateur de la droite vectorielle \(\Vect(u)\). On a ainsi \(\Vect(u) = \Vect(v)\).
2. La famille \((1, X, \dots, X^n)\) est génératrice de l'espace vectoriel \(\mathbb{R}_n[x]\) ; elle n'est pas génératrice de l'espace \(\mathbb{R}_{n+1}[x]\).
3. La famille des matrices élémentaires \(E_{i,j}\), \(1 \leqslant i \leqslant n\), \(1 \leqslant j \leqslant p\), est génératrice de l'espace vectoriel \(\MM_{n,p}(\mathbb{R})\).

1. On déduit des exemples ci-dessus que les droites vectorielles, l'espace \(\mathbb{R}_n[x]\) des polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\) et l'espace \(\MM_{n,p}(\mathbb{R})\) sont des espaces vectoriels de dimension finie.
2. L'espace \(\mathbb{R}[x]\) n'admet pas de famille génératrice finie (penser au degré), donc c'est un espace vectoriel de dimension infinie.

• La famille \((1, X, \dots, X^n)\) est libre dans \(\mathbb{R}[x]\).
• La famille \((X, X - 1, 2X + 3)\) est liée, puisqu'on peut trouver une combinaison linéaire nulle des vecteurs de cette famille à coefficients non tous nuls : \(-5X + 3(X - 1) + (2X + 3) = 0\).

Exemple. On peut affirmer que la famille de polynômes suivante est libre dans \(\mathbb{R}[x]\) :

Autrement dit, la famille de vecteurs \((u_1, \dots, u_n)\) est une base de \(E\) si et seulement si l'application suivante est bijective :

1. Soit \(n \in \mathbb{N}^*\) ; pour tout \(i \in \llbracket 1, n \rrbracket\), posons \(e_i = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)\), où le « 1 » est en \(i\)-ème position. La famille \((e_1, \dots, e_n)\) est clairement une base de \(\mathbb{R}^n\), appelée base canonique de \(\mathbb{R}^n\).
2. La famille \((1, X, \dots, X^n)\) est une base de \(\mathbb{R}_n[x]\), appelée la base canonique de \(\mathbb{R}_n[x]\).
3. Un espace vectoriel de dimension finie non nulle n'admet pas toujours de base canonique. Par exemple, \(D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \,;\, x + y = 0\}\) est la droite vectorielle de \(\mathbb{R}^2\) engendrée par le vecteur \(u = (1, -1)\), et c'est aussi la droite vectorielle de \(\mathbb{R}^2\) engendrée par le vecteur \(v = (-1, 1)\). On a \(D = \Vect(u) = \Vect(v)\). Aucune base de \(D\) n'est privilégiée.
4. Aucune famille finie de vecteurs de \(\mathbb{R}[x]\) n'est génératrice de \(\mathbb{R}[x]\) (il suffit de penser au degré) ; par conséquent, \(\mathbb{R}[x]\) n'admet pas de base comportant un nombre fini de vecteurs.

Pour tout réel \(a\), la famille \((1, X - a, (X - a)^2, \dots, (X - a)^n)\) est une famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts, donc elle est libre. De plus, c'est une famille de \(n + 1\) vecteurs de l'espace \(\mathbb{R}_n[x]\), de dimension \(n + 1\), donc c'en est une base. Ainsi, pour tout \(P \in \mathbb{R}_n[x]\), il existe un unique \((n+1)\)-uplet \((\lambda_0, \dots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^{n+1}\) tel que :

En évaluant en \(a\), on obtient \(\lambda_0 = P(a)\). En dérivant puis évaluant en \(a\), on obtient \(\lambda_1 = P'(a)\). En dérivant deux fois puis évaluant en \(a\), on obtient \(2\lambda_2 = P''(a)\), etc. Par une récurrence immédiate, pour tout \(k \in \llbracket 0, n \rrbracket\), \(k!\,\lambda_k = P^{(k)}(a)\). On retrouve ainsi la formule de Taylor pour les polynômes :

Étant donné une famille de vecteurs d'un espace vectoriel \(E\), on cherche à décrire le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) contenant ces vecteurs.

1. Dans la pratique, pour trouver une base d'un espace vectoriel \(\Vect(u_1, \dots, u_n)\), on regarde si la famille \((u_1, \dots, u_n)\) est libre. Si elle ne l'est pas, on écrit l'un des vecteurs comme combinaison linéaire des autres, puis on le supprime, grâce au point 2 de la proposition ci-dessus, et on recommence… Ce procédé est important.
2. On a vu plus haut que, par définition, une droite vectorielle est un sous-espace vectoriel engendré par un vecteur non nul. On a défini un plan vectoriel comme étant un sous-espace vectoriel engendré par deux vecteurs non colinéaires. Autrement dit, par définition, un plan vectoriel de \(E\) est un sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\) tel qu'il existe deux vecteurs \(u\) et \(v\) de \(E\) non colinéaires vérifiant \(F = \Vect(u, v)\).

1. La famille \(\mathscr{F}_1 = \left((3, -1), \left(\frac{1}{7}, \sqrt{2}\right), \left(\frac{\pi}{4}, 57\right), (-5, \ln 2)\right)\) de vecteurs de \(\mathbb{R}^2\) est de rang 2 (puisqu'elle contient deux vecteurs non colinéaires dans un espace de dimension 2).
2. La famille \(\mathscr{F}_2 = ((1, 1, 0, 0), (0, 1, -1, -1), (0, 0, 1, 1))\) est libre, donc de rang 3 dans \(\mathbb{R}^4\).
3. Considérons la famille \[\mathscr{F}_3 = ((1, 1, 0, 0), (0, 1, -1, -1), (0, 0, 1, 1), (1, 2, -1, -1)).\] Elle contient une famille de rang 3 (voir l'exemple précédent), d'où l'inégalité \(\rg \mathscr{F}_3 \geqslant 3\). Le dernier vecteur est la somme des deux premiers ; ainsi, le nombre maximal de vecteurs extraits de la famille \(\mathscr{F}_3\) et formant une famille libre est 3. On en déduit \(\rg \mathscr{F}_3 = 3\).

Comment déterminer dans la pratique le rang d'une famille de vecteurs ? La proposition suivante fournit une réponse.

Exemple. Si \(u\) et \(v\) sont deux vecteurs d'un espace vectoriel \(E\), on a \(\Vect(u) + \Vect(v) = \Vect(u, v)\). Plus généralement, si \(u_1, \dots, u_p\) et \(v_1, \dots, v_q\) sont des vecteurs d'un espace vectoriel \(E\), on a :

Illustration pour un espace \(E\) de dimension 3, dans le cas où \(F\) est un plan vectoriel (un sous-espace de dimension 2 ; ici, c'est aussi un hyperplan) et \(G = \Vect(u)\), où \(u\) est un vecteur n'appartenant pas à \(F\) ; dans ce cas, on a \(E = F \oplus \Vect(u)\) :

1. \((1, X, X^2, X^3)\) est une base de \(\mathbb{R}_3[x]\), donc les sous-espaces vectoriels \(\mathbb{R}_2[x] = \Vect(1, X, X^2)\) et \(\Vect(X^3)\) sont supplémentaires dans \(\mathbb{R}_3[x]\). On écrit : \(\mathbb{R}_3[x] = \mathbb{R}_2[x] \oplus \Vect(X^3)\).
2. Soient \(P_0 = (X-1)(X-2)(X-3)\), \(P_1 = X(X-2)(X-3)\), \(P_2 = X(X-1)(X-3)\) et \(P_3 = X(X-1)(X-2)\). La famille \((P_0, P_1, P_2, P_3)\) est une famille libre de \(\mathbb{R}_3[x]\) ; c'est une famille de cardinal 4 dans l'espace vectoriel \(\mathbb{R}_3[x]\) de dimension 4, donc c'en est une base. On a donc : \(\mathbb{R}_3[x] = \Vect(P_0, P_1) \oplus \Vect(P_2, P_3)\).

Quelques exemples classiques, dans des espaces vectoriels variés :

L'application \(\varphi : x \in E \longmapsto \Mat_{\BB}(x) \in \MM_{n,1}(\mathbb{R})\) est une bijection.

1. Dans la pratique, ceci permet par exemple de dire, si \((e_1, e_2)\) est une base de \(\mathbb{R}^2\) et \((u_1, u_2, u_3)\) une base de \(\mathbb{R}^3\) : « soit \(f\) l'application linéaire de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}^3\) définie par \(f(e_1) = u_1 + u_2 + u_3\) et \(f(e_2) = 3u_1 - 2u_3\) ».
2. Ce résultat est crucial : pour connaître complètement une application linéaire entre deux espaces de dimension finie, il suffit de consigner dans une matrice les coordonnées dans une base de \(F\) des images des vecteurs d'une base de \(E\). C'est ce qui va permettre d'introduire la notion de matrice d'une application linéaire dans des bases.

D'après la proposition précédente, l'application \(\varphi : f \in \LL(E, F) \longmapsto \Mat_{\BB_F, \BB_E}(f) \in \MM_{n,p}(\mathbb{R})\) est une bijection.

Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels. Si \(f\) et \(g\) sont deux éléments de \(\LL(E, F)\) et \(\lambda\) un réel, on définit les applications \(f + g\) et \(\lambda f\) par :

On pourrait résumer cette proposition en disant qu'en dimension finie, évaluer une application linéaire en un vecteur (c'est-à-dire calculer \(f(x)\)) revient à effectuer un produit matriciel (d'une matrice « rectangulaire » par une matrice colonne). La proposition qui suit est fondamentale ; elle permet de comprendre pourquoi on a défini le produit matriciel d'une façon qui pouvait sembler étrange à première vue.

Dans le cas particulier où les espaces vectoriels \(E\) et \(F\) ont même dimension finie non nulle, on en déduit un lien entre isomorphismes et matrices inversibles :

Soit \(E\) un espace vectoriel. On peut toujours composer deux endomorphismes de \(E\). En particulier, on peut définir pour tout \(f \in \LL(E)\) et tout entier naturel \(k\) l'endomorphisme \(f^k\) par :

La propriété de compatibilité de la composition des applications linéaires et du produit matriciel s'écrit, dans le cas particulier de deux endomorphismes \(f\) et \(g\) d'un espace vectoriel \(E\) de dimension finie : \(\Mat_{\BB_E}(g \circ f) = \Mat_{\BB_E}(g) \times \Mat_{\BB_E}(f)\). Dans le cas particulier où \(g = f\), on obtient \(\Mat_{\BB_E}(f^2) = \big(\Mat_{\BB_E}(f)\big)^2\), puis, par une récurrence immédiate :

1. Dans le membre de gauche, c'est bien un produit de polynômes que l'on applique à un endomorphisme ; dans le membre de droite, il s'agit d'une composée d'endomorphismes.
2. On en déduit immédiatement que deux endomorphismes qui sont tous deux polynômes en \(f\) commutent : \(P(f) \circ Q(f) = (PQ)(f) = (QP)(f) = Q(f) \circ P(f)\).
3. Conséquence : dans la pratique, si \(f\) est un endomorphisme, pour calculer par exemple la composée d'endomorphismes \((f - 2\Id_E) \circ (f^2 + 5f + 3\Id_E)\), on peut développer le polynôme \((X - 2)(X^2 + 5X + 3)\), ce qui donne \(X^3 + 3X^2 - 7X - 6\), puis remplacer \(X\) par \(f\), en veillant bien à remplacer le polynôme constant \(-6\) par l'endomorphisme \(-6\Id_E\). On obtient ainsi \((f - 2\Id_E) \circ (f^2 + 5f + 3\Id_E) = f^3 + 3f^2 - 7f - 6\Id_E\).

Lorsqu'une application \(f\) est linéaire, connaître son noyau permet en particulier de savoir si \(f\) est injective, comme l'énonce la proposition suivante :

Exemple. Soit \(n \in \mathbb{N}\). On considère la base canonique \((1, X, \dots, X^n)\) de \(\mathbb{R}_n[x]\) et la base canonique \((e_1, \dots, e_{n+1})\) de \(\mathbb{R}^{n+1}\). L'application linéaire \(f\) de \(\mathbb{R}_n[x]\) dans \(\mathbb{R}^{n+1}\) définie par \(\forall k \in \llbracket 0, n \rrbracket,\ f(X^k) = e_{k+1} = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0)\), où le coefficient 1 figure en \((k+1)\)-ième position, envoie la base canonique de \(\mathbb{R}_n[x]\) sur la base canonique de \(\mathbb{R}^{n+1}\), donc est un isomorphisme.

1. Deux espaces « isomorphes » ont étymologiquement « même forme ». En d'autres termes, deux espaces isomorphes sont « presque » les mêmes, la seule différence étant la façon de noter les éléments. Par exemple, un polynôme \(P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k\) de \(\mathbb{R}_n[x]\) peut aussi être vu comme un \((n+1)\)-uplet \((a_0, \dots, a_n)\) de réels : hormis la façon de le noter, un polynôme de \(\mathbb{R}_n[x]\) et un élément de \(\mathbb{R}^{n+1}\) sont « presque les mêmes ». Ce corollaire justifie a posteriori l'intérêt porté aux espaces \(\mathbb{R}^n\) : étudier les espaces vectoriels \(\mathbb{R}^n\), cela revient, à isomorphisme près, à étudier tous les espaces vectoriels de dimension finie.
2. Construire un isomorphisme entre un espace vectoriel connu et un espace vectoriel dont on ne connaît pas la dimension (ou même dont on ne sait pas encore s'il est de dimension finie ou pas) est un moyen de déterminer cette dimension, comme le montrent les deux exemples suivants.
   • Les matrices élémentaires \((E_{i,j})_{1 \leqslant i \leqslant n,\ 1 \leqslant j \leqslant p}\) (tous les coefficients de la matrice \(E_{i,j}\) sont nuls, sauf celui situé à la \(i\)-ème ligne et \(j\)-ème colonne, qui vaut 1) forment une base de l'espace vectoriel \(\MM_{n,p}(\mathbb{R})\), qui est donc de dimension finie égale à \(np\). Soient \(E\) et \(F\) des espaces vectoriels de dimensions respectives \(p\) et \(n\), munis de bases \(\BB_E\) et \(\BB_F\). L'isomorphisme \(\varphi : f \in \LL(E, F) \mapsto \Mat_{\BB_F, \BB_E}(f) \in \MM_{n,p}(\mathbb{R})\) montre que l'espace vectoriel \(\LL(E, F)\) est de dimension finie égale à \(np\).
   • Soient \(a\) et \(b\) deux réels. On note \(E_{a,b} = \{u = (u_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \,;\, \forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n\}\). L'application \(\varphi : \mathbb{R}^2 \to E_{a,b}\) qui à tout couple \((x, y) \in \mathbb{R}^2\) associe l'unique élément \(u\) de \(E_{a,b}\) vérifiant \(u_0 = x\) et \(u_1 = y\) est un isomorphisme de \(\mathbb{R}^2\) sur \(E_{a,b}\). On en déduit que l'espace vectoriel \(E_{a,b}\) est de dimension finie égale à 2.

D'après une proposition précédente, si \(E\) et \(F\) sont deux espaces vectoriels, \(E\) étant de dimension finie, le sous-espace vectoriel \(\Img f = f(E)\) est de dimension finie, y compris dans le cas où l'espace vectoriel \(F\) n'est pas de dimension finie (en effet, si \((e_1, \dots, e_n)\) est une famille génératrice de \(E\), la famille finie \((f(e_1), \dots, f(e_n))\) engendre \(\Img f\)). Ceci justifie la définition suivante.

1. Le rang d'une matrice \(A\) non nulle est le plus grand des cardinaux des familles libres extraites de la famille \((C_1, \dots, C_p)\), puisque de toute famille génératrice de \(\Img A\) on peut extraire une base.
2. D'après la proposition 12, le rang d'une matrice est invariant par opérations élémentaires sur ses colonnes, c'est-à-dire par échange de deux colonnes, multiplication d'une colonne par un réel non nul, ou ajout à une colonne d'un multiple d'une autre colonne.

Conséquence. On a vu plus haut que le rang d'une matrice est le nombre maximal de colonnes formant une famille libre que l'on peut en extraire ; comme le rang d'une matrice est aussi égal à celui de sa transposée, le rang d'une matrice est aussi le nombre maximal de lignes formant une famille libre que l'on peut en extraire.