Une suite \(u = (u_n)_{n\in\mathbb{N}} = (u_0, u_1, u_2, \dots)\) est, si l'on veut une définition précise, une application de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{R}\) :
On note \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) l'ensemble des suites réelles.
Il est important de se forger, quand c'est possible, des images mentales des objets mathématiques manipulés. On peut imaginer une suite de plusieurs façons.
Les termes \(u_n\) sont disposés sur un axe représentant l'ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels :
Dans le plan, on place les entiers \(n\) en abscisse et les réels \(u_n\) en ordonnée :
Lorsque la suite \(u\) est définie par une relation de récurrence du type \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1} = f(u_n)\), on peut représenter chacun des termes \(u_n\) alternativement en abscisse et en ordonnée, en s'appuyant sur la courbe de \(f\) et sur la première bissectrice, c'est-à-dire la droite d'équation \(y = x\) :
Si \(u\) et \(v\) sont deux suites et \(\ell\) un réel, il faut connaître avec précision les définitions suivantes.
| La suite \(u\) est… | Définition |
|---|---|
| majorée | \(\exists M \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{N},\ u_n \leqslant M\) |
| minorée | \(\exists m \in \mathbb{R},\ \forall n \in \mathbb{N},\ u_n \geqslant m\) |
| bornée | majorée et minorée, c'est-à-dire \(\exists A \geqslant 0,\ \forall n \in \mathbb{N},\ |u_n| \leqslant A\) |
| (strictement) croissante | \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1} \geqslant u_n\) \(\;(u_{n+1} > u_n)\) |
| (strictement) décroissante | \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1} \leqslant u_n\) \(\;(u_{n+1} \lt u_n)\) |
| (strictement) monotone | (strictement) croissante ou (strictement) décroissante |
| convergente vers \(\ell\) | voir la définition ci-dessous ; on note \(u_n \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} \ell\) |
| convergente | il existe un réel \(\ell\) tel que \(u\) converge vers \(\ell\) |
| divergente | elle n'est pas convergente |
| divergente vers \(+\infty\) | \(\forall A \in \mathbb{R},\ \exists n_0 \in \mathbb{N},\ \forall n \geqslant n_0,\ u_n \geqslant A\) |
| divergente vers \(-\infty\) | \(\forall A \in \mathbb{R},\ \exists n_0 \in \mathbb{N},\ \forall n \geqslant n_0,\ u_n \leqslant A\) |
Les suites \(u\) et \(v\) sont dites adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante, et si \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} (u_n - v_n) = 0\).
On dit que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers le réel \(\ell\) si :
La figure ci-dessous illustre cette définition : pour \(\varepsilon > 0\) fixé, à partir d'un certain rang \(n_0\) (sur le dessin, tout entier supérieur ou égal à 6 convient), tous les réels \(u_n\) sont compris entre \(\ell - \varepsilon\) et \(\ell + \varepsilon\).
On peut additionner deux suites. Si \(u\) et \(v\) sont deux suites, la suite \(w = u + v\) est, par définition, la suite dont le terme général \(w_n\) est la somme \(u_n + v_n\) des termes généraux des deux suites. Autrement dit, on additionne terme à terme :
ou encore :
De même, on peut multiplier une suite réelle \(u\) par un réel \(\lambda\) :
En algèbre linéaire, on dit que ces deux opérations, l'addition des suites et la multiplication d'une suite par un réel, confèrent à l'ensemble des suites \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) une structure d'espace vectoriel.
On définit aussi le produit \(uv\) de deux suites \(u\) et \(v\) en posant \(\forall n \in \mathbb{N},\ (uv)_n = u_n v_n\). Ces opérations satisfont les mêmes règles que les opérations sur les nombres réels. Par exemple, la multiplication dans \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\) est distributive sur l'addition :
Les propriétés suivantes sont intuitives et donc faciles à mémoriser.
Soient \((\lambda, \mu, \ell, \ell') \in \mathbb{R}^4\) et \((u, v) \in \big(\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\big)^2\). Alors :
Le quotient \(\dfrac{u_n}{v_n}\) est bien défini au moins à partir d'un certain rang dès que le réel \(\ell'\) est non nul.
On complète par des propriétés analogues en changeant \(+\infty\) en \(-\infty\), ou bien \(\ell > 0\) en \(\ell \lt 0\).
- Si une suite \(u\) converge vers un réel \(\ell\), alors chacune des suites extraites de \(u\), par exemple \((u_n)_{n\geqslant 8}\), \((u_{2n})_{n\in\mathbb{N}}\), \((u_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}}\), \((u_{3n+2})_{n\in\mathbb{N}}\), converge vers \(\ell\).
- Si les deux suites extraites \((u_{2n})_n\) et \((u_{2n+1})_n\) convergent vers une même limite \(\ell\), alors la suite \((u_n)_n\) converge, et elle converge vers \(\ell\) :
Si l'on a \(u_n \leqslant v_n\) à partir d'un certain rang, et si \(u_n \longrightarrow \ell\) et \(v_n \longrightarrow \ell'\), alors \(\ell \leqslant \ell'\) :
Si l'on a, à partir d'un certain rang, \(u_n \leqslant v_n \leqslant w_n\), et si les suites \(u\) et \(w\) convergent vers un même réel \(\ell\), alors la suite \(v\) converge, et elle converge vers \(\ell\) :
De manière analogue :
Les propriétés qui suivent sont plus difficiles sur le plan théorique, mais intuitives, donc faciles à mémoriser.
- Une suite croissante et majorée est convergente.
- Une suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\).
De même, une suite décroissante et minorée est convergente ; une suite décroissante non minorée tend vers \(-\infty\).
Le théorème de la limite monotone est un résultat très important, admis dans le cours de première année (il provient de la structure même de l'ensemble \(\mathbb{R}\) des nombres réels). Il est très utile, puisqu'il permet dans certains cas d'établir la convergence d'une suite sans avoir la moindre idée de sa limite.
Deux suites adjacentes sont convergentes, et elles convergent vers la même limite. Ce résultat découle facilement du précédent.
Une suite \(u\) est dite :
- arithmétique s'il existe un réel \(r\) (la raison de la suite) vérifiant \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1} = u_n + r\) ;
- géométrique s'il existe un réel \(q\) (la raison de la suite) vérifiant \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1} = q\,u_n\) ;
- arithmético-géométrique s'il existe deux réels \(a\) et \(b\) vérifiant \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1} = a\,u_n + b\) ;
- récurrente linéaire d'ordre 2 à coefficients constants s'il existe deux réels \(a\) et \(b\) vérifiant \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+2} = a\,u_{n+1} + b\,u_n\).
- Arithmétique : \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_n = u_0 + n r\). Géométrique : \(\forall n \in \mathbb{N},\ u_n = u_0\, q^n\).
- Arithmético-géométrique (avec \(a \neq 1\)) : on cherche le réel \(c\) tel que \(c = ac + b\) ; la suite \((u_n - c)_n\) est alors géométrique de raison \(a\), d'où \(u_n = c + a^n(u_0 - c)\).
- Récurrente linéaire d'ordre 2 : on résout l'équation caractéristique \(x^2 = ax + b\). S'il y a deux racines réelles distinctes \(r_1\) et \(r_2\), il existe deux réels \(\lambda\) et \(\mu\) tels que \(u_n = \lambda r_1^n + \mu r_2^n\) ; s'il y a une racine double \(r\), il existe deux réels \(\lambda\) et \(\mu\) tels que \(u_n = (\lambda + \mu n) r^n\). Les constantes se déterminent avec \(u_0\) et \(u_1\).
La valeur de la somme des \(n+1\) premiers termes d'une suite géométrique de raison \(q \in \mathbb{R}\) et de premier terme 1 doit être parfaitement connue :
Si le premier terme de la somme n'est pas 1, on s'y ramène en factorisant par le premier terme. Par exemple, si \(q\) est un réel différent de 1 :
Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\), \(f : I \to \mathbb{R}\) une fonction et \(u_0\) un élément de \(I\). Si l'intervalle \(I\) est stable par \(f\), c'est-à-dire s'il vérifie l'inclusion \(f(I) \subset I\), alors on définit correctement une suite \(u\) de la façon suivante :
La suite \(u\) est dite récurrente : chaque terme, sauf le premier, est connu en fonction du précédent. La difficulté de ce type de suite tient au fait qu'il est généralement difficile, voire impossible, sauf dans des cas particuliers (comme celui des suites arithmético-géométriques), d'en calculer explicitement le terme général \(u_n\).
Plus généralement, une suite est dite récurrente si chacun des termes \(u_{n+1}\), avec \(n \in \mathbb{N}\), est défini en fonction des termes précédents \(u_0, \dots, u_n\) et de l'entier \(n\).
Pour les représenter, on utilise la construction en escalier vue plus haut.
Imaginons que l'on dispose d'une suite \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) de fonctions définies sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et à valeurs réelles, telles que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), il existe un unique réel \(u_n\) vérifiant \(f_n(u_n) = 0\). On définit de cette manière une suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\).
Dans la plupart des cas étudiés, il est impossible d'exprimer le terme général \(u_n\) d'une telle suite en fonction de \(n\). Il s'agit donc d'exploiter les informations sur les fonctions \(f_n\) pour en déduire l'éventuelle monotonie ou convergence de la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\). Aucun résultat théorique n'est à connaître : tout repose sur la méthode, que l'on travaille sur des cas pratiques.
Soient \(u\) et \(v\) deux suites, \(v\) ne s'annulant pas à partir d'un certain rang. On dit que la suite \(u\) est négligeable devant la suite \(v\) si
On dit aussi que la suite \(u\) est dominée par la suite \(v\), ou que la suite \(v\) est prépondérante sur la suite \(u\) : ces trois assertions synonymes se notent \(u_n = o(v_n)\).
« \(u_n = o(v_n)\) » est seulement une notation. Par exemple, \(u_n = o(w_n)\) et \(v_n = o(w_n)\) n'impliquent PAS \(u_n = v_n\).
Soient \(u\) et \(v\) deux suites, \(v\) ne s'annulant pas à partir d'un certain rang. On dit que les suites \(u\) et \(v\) sont équivalentes si
De manière équivalente : \(u_n \sim v_n \iff u_n = v_n + o(v_n)\).
Dans la pratique, pour montrer que deux suites \(u\) et \(v\) sont équivalentes, on essaie d'écrire \(u_n\) sous la forme \(u_n = v_n + o(v_n)\) ; on peut aussi essayer d'encadrer \(u_n\) entre deux termes généraux équivalents l'un et l'autre à \(v_n\).
Pour la division, on suppose que les \(a_n\) et les \(b_n\) sont tous non nuls à partir d'un certain rang.
Si \(a\) est un réel, \(u_n \sim v_n\) n'implique PAS \(u_n + a \sim v_n + a\), donc a fortiori \(u_n \sim v_n\) et \(a_n \sim b_n\) n'impliquent PAS \(u_n + a_n \sim v_n + b_n\).
Ainsi, lorsqu'on cherche un équivalent d'une somme \(u_n + a_n\), il est souvent préférable d'effectuer des développements limités, qui présentent l'avantage de quantifier les termes négligés.