On peut facilement développer, pour tout \(x\) réel, \((1+x)^4\), soit directement à l'aide de la formule du binôme de Newton, soit en développant en deux temps \((1+x)^2(1+x)^2\) :
Pour les « petites » valeurs de \(x\) (très proches de 0), le réel \(x^2\) est « très petit » devant \(x\). Plus précisément, le quotient \(\dfrac{x^2}{x}\) tend vers 0 quand \(x\) tend vers 0 : on dit que \(x^2\) est négligeable devant \(x\) au voisinage de 0, et on note \(x^2 = \underset{x\to 0}{o}(x)\), ou plus simplement \(x^2 = o(x)\). De même, \(x^3 = o(x)\) et \(x^4 = o(x)\). Ainsi :
Du développement \((\ast)\), on n'a conservé que les monômes de degré au plus 1 : on a effectué un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de 0. Dans la pratique, ce développement limité a au moins deux intérêts.
Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) contenant 0 et non réduit à \(\{0\}\), \(f : I \to \mathbb{R}\) une fonction et \(n\) un entier naturel. On dit que \(f\) admet un développement limité à l'ordre \(n\) au voisinage de 0 s'il existe un polynôme \(P_n\) de degré au plus égal à \(n\) tel que
1. On a vu plus haut qu'en posant, pour tout \(x\) réel, \(P_2(x) = 1 + 4x + 6x^2\), on a \(\forall x \in \mathbb{R},\ (1+x)^4 = P_2(x) + o(x^2)\). La fonction \(P_2\) est polynomiale de degré au plus 2, donc \(f : x \mapsto (1+x)^4\) admet un développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0.
2. Pour tout réel \(x\), \((1-x)(1+x) = 1 - x^2\), donc pour tout réel \(x \neq 1\) :
Posons \(P_1(x) = 1 + x\) et, pour \(x \neq 1\), \(\varepsilon(x) = \dfrac{x}{1-x}\). La fonction \(P_1\) est polynomiale de degré au plus 1 et \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \varepsilon(x) = 0\), ce que l'on peut aussi écrire \(\dfrac{1}{1-x} = 1 + x + o(x)\). Ainsi, \(x \mapsto \dfrac{1}{1-x}\) admet un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de 0.
On généralise le second exemple en partant de la formule donnant la somme des \(n+1\) premiers termes d'une suite géométrique de raison différente de 1 :
qui s'écrit aussi \(\dfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + x^n\,\dfrac{x}{1-x}\). La fonction \(\varepsilon : x \mapsto \dfrac{x}{1-x}\) tend vers 0 en 0, donc \(x^n\dfrac{x}{1-x} = o(x^n)\). On obtient ainsi, sans utiliser la formule de Taylor-Young :
En remplaçant \(x\) par \(-x\) :
En remplaçant \(x\) par \(x^2\), on obtient le développement limité à l'ordre \(2n\) :
Les règles de calcul sur les « \(o(x^n)\) » permettent d'additionner et de multiplier des développements limités. Cherchons par exemple le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de \(\sin x - x\cos x\) :
On démontre en première année que l'on peut « primitiver » terme à terme un développement limité. Ainsi, à partir du développement limité à l'ordre \(n-1\)
on obtient l'existence et la valeur des coefficients du développement limité de \(x \mapsto \ln(1+x)\) au voisinage de 0 à l'ordre \(n\). De même, en primitivant celui de \(x \mapsto \dfrac{1}{1+x^2}\), on obtient le développement limité de la fonction arctangente à l'ordre \(2n+1\).
Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) non vide et non réduit à un point, \(x_0 \in I\) et \(f : I \to \mathbb{R}\) une fonction. Alors \(f\) est dérivable en \(x_0\) si et seulement si \(f\) admet au voisinage de \(x_0\) un développement limité à l'ordre 1, dont les coefficients sont donnés par :
ou encore, ce qui revient au même :
Ainsi, la dérivabilité en \(x_0\) équivaut à l'existence d'un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de \(x_0\). Qu'en est-il pour l'ordre 2 ? pour l'ordre \(n\) ? La formule de Taylor-Young fournit une réponse à cette question.
La formule de Taylor-Young permet d'approcher localement une fonction par un polynôme. En ce sens, c'est une formule « plus faible » que la formule de Taylor avec reste intégral, que l'on pourrait qualifier de formule « globale ».
Soient \(n \in \mathbb{N}^*\), \(x_0 \in \mathbb{R}\), \(I\) un intervalle contenant \(x_0\) et non réduit à \(\{x_0\}\), et \(f : I \to \mathbb{R}\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\). Soit \(J = \{h \in \mathbb{R} \,;\, x_0 + h \in I\}\). Alors il existe une fonction \(\varepsilon\) de \(J\) dans \(\mathbb{R}\) vérifiant :
ce qui revient à écrire :
La fonction exponentielle est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(\exp^{(n)} = \exp\), donc \(\exp^{(n)}(0) = 1\). D'après la formule de Taylor-Young, elle admet au voisinage de 0 un développement limité à tout ordre :
La fonction \(\tan = \dfrac{\sin}{\cos}\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[\), en tant que quotient de fonctions de classe \(\mathcal{C}^\infty\) dont le dénominateur ne s'annule pas sur cet intervalle. On calcule successivement, pour tout \(x \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[\) :
d'où \(\tan'(0) = 1\), \(\tan''(0) = 0\) et \(\tan'''(0) = 2\). D'après la formule de Taylor-Young, la fonction tangente admet au voisinage de 0 un développement limité à l'ordre 3 :
Soient \(\alpha\) un réel et \(f : ]-1, +\infty[ \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = (1+x)^\alpha\). La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(]-1, +\infty[\). On calcule \(f'(x) = \alpha(1+x)^{\alpha-1}\), \(f''(x) = \alpha(\alpha-1)(1+x)^{\alpha-2}\) et, plus généralement, par une récurrence immédiate, pour tout \(k \in \mathbb{N}\) :
D'après la formule de Taylor-Young, \(f\) admet au voisinage de 0 un développement limité à tout ordre :
En particulier, pour \(\alpha = \frac{1}{2}\) et \(n = 2\) :
Les fonctions sinus et cosinus sont de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\). Pour tout \(k \in \mathbb{N}\), on obtient facilement, par récurrence, pour tout \(x\) réel :
d'où \(\cos^{(4k)}(0) = 1 = (-1)^{2k}\), \(\cos^{(4k+1)}(0) = 0\), \(\cos^{(4k+2)}(0) = -1 = (-1)^{2k+1}\) et \(\cos^{(4k+3)}(0) = 0\). D'après la formule de Taylor-Young, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et tout \(x\) réel (développement à l'ordre \(2n\)) :
De manière analogue, la fonction sinus admet au voisinage de 0 un développement limité à tout ordre (ici à l'ordre \(2n+1\)) :
Plutôt qu'un énoncé général, on examine un exemple : on cherche un développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0 de \((1+x)^{1/x}\). Écrivons :
La propriété caractéristique de l'exponentielle permet de se ramener au développement limité de l'exponentielle au voisinage de 0 :
Comme \(-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + o(x^2)\) tend vers 0 quand \(x\) tend vers 0, on peut composer par le développement limité \(e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + o(u^2)\) :
On développe le carré. Il est inutile d'expliciter les termes en \(x^3\) et \(x^4\), tous négligeables devant \(x^2\) : ils sont « avalés » par le \(o(x^2)\). On obtient :
L'idée est d'exploiter le développement limité usuel \(\dfrac{1}{1-u} = 1 + u + \cdots + u^n + o(u^n)\). Retrouvons par exemple le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de la fonction tangente, déjà obtenu avec la formule de Taylor-Young :
Comme \(\frac{x^2}{2} + o(x^2)\) tend vers 0 quand \(x\) tend vers 0, on peut composer par le développement limité \(\dfrac{1}{1-u} = 1 + u + o(u)\) :
| Fonction | Développement limité au voisinage de 0 |
|---|---|
| \(\dfrac{1}{1-x}\) | \(1 + x + x^2 + \cdots + x^n + o(x^n)\) |
| \(\dfrac{1}{1+x}\) | \(1 - x + x^2 - \cdots + (-1)^n x^n + o(x^n)\) |
| \(\ln(1+x)\) | \(x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n} + o(x^n)\) |
| \(e^x\) | \(1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots + \dfrac{x^n}{n!} + o(x^n)\) |
| \((1+x)^\alpha\) | \(1 + \alpha x + \dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)\) |
| \(\sqrt{1+x}\) | \(1 + \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{8}x^2 + o(x^2)\) |
| \(\cos x\) | \(1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n})\) |
| \(\sin x\) | \(x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots + (-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1})\) |
| \(\tan x\) | \(x + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)\) |
| \(\arctan x\) | \(x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \cdots + (-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+1})\) |
Déterminons la limite éventuelle quand \(x\) tend vers 0 de \(\dfrac{\sin x - x\cos x}{x^3}\). D'après le calcul effectué plus haut :
Déterminons la limite éventuelle de la suite de terme général \(u_n = n\sqrt[n]{n} - (n-1)\sqrt[n-1]{n-1}\). Pour tout \(n \geqslant 2\) :
Par croissances comparées, \(\dfrac{\ln n}{n} \underset{n\to+\infty}{\longrightarrow} 0\). On peut donc composer par le développement limité \(e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + o(u^2)\) au voisinage de 0 :
Par croissances comparées, \(\dfrac{\ln^2 n}{n}\) et \(\dfrac{\ln^2(n-1)}{n-1}\) tendent vers 0. Par ailleurs, \(\ln(n) - \ln(n-1) = \ln\!\left(\dfrac{n}{n-1}\right)\), donc cette différence de logarithmes tend aussi vers 0. On trouve finalement :
Un développement limité ne pourra jamais fournir une inégalité « globale », c'est-à-dire valable pour tout \(x\) appartenant à un intervalle préalablement fixé \(I\).
Par exemple, pour démontrer que \(1 + x \leqslant e^x\) pour tout \(x\) réel, il ne suffit pas d'écrire un développement limité de l'exponentielle au voisinage de 0 : il faut étudier la fonction \(x \mapsto e^x - x - 1\) (ou utiliser directement un résultat du cours de première année sur la convexité).
Montrons qu'il existe un réel \(\alpha \in ]0, 1[\) tel que, pour tout \(x \in [-\alpha, \alpha]\), \(|\ln(1+x) - x| \leqslant x^2\). Le développement limité de \(\ln(1+x)\) au voisinage de 0 à l'ordre 2 s'écrit \(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\). On en déduit :
Par définition de la limite écrite avec \(\varepsilon = \frac{1}{2}\), il existe \(\alpha \in ]0, 1[\) tel que, pour tout \(x \in [-\alpha, \alpha]\setminus\{0\}\) :
donc \(\forall x \in [-\alpha, \alpha]\setminus\{0\},\ \left|\dfrac{\ln(1+x) - x}{x^2}\right| \leqslant 1\). En multipliant membre à membre par \(x^2 \geqslant 0\), et en vérifiant que l'inégalité est encore vraie pour \(x = 0\) :
Illustrons avec le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0 déterminé plus haut :
Ce développement limité à l'ordre 2 implique le développement limité à l'ordre 1 suivant : \(\sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x + o(x)\), qui s'écrit aussi \(\sqrt{1+x} - \left(1 + \frac{1}{2}x\right) = o(x)\). Par unicité des coefficients du développement limité, les réels \(a = \frac{1}{2}\) et \(b = 1\) sont les seuls réels vérifiant \(\sqrt{1+x} - (ax + b) = o(x)\).
Graphiquement, la droite d'équation \(y = ax + b\) est l'unique droite passant au plus près de la courbe de \(x \mapsto \sqrt{1+x}\) pour \(x\) au voisinage de 0 : la droite d'équation \(y = \frac{1}{2}x + 1\) est la tangente à la courbe de \(f : x \mapsto \sqrt{1+x}\) au point d'abscisse 0.
Le développement limité à l'ordre 2 donne de plus :
ce qui signifie que la courbe de \(f\) est située, au moins au voisinage du point d'abscisse 0, sous sa tangente en ce point.
Considérons la fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par :
D'après le théorème de prolongement des fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\), aussi appelé théorème « limite de la dérivée », la fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}\) tout entier, et \(f'(0) = \dfrac{1}{2}\).
Lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), \(\frac{1}{x}\) tend vers 0. Pour étudier le comportement d'une fonction \(f : x \mapsto f(x)\) au voisinage de \(+\infty\), on peut donc utiliser des développements limités dont la variable est \(u = \frac{1}{x}\), comme on l'a fait plus haut pour la limite d'une suite. Comme un polynôme « en \(\frac{1}{x}\) » n'est pas un polynôme en la variable \(x\), on ne parle pas de développement limité de \(f\), mais de développement asymptotique.
Cherchons une éventuelle droite asymptote, quand \(x\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\), à la courbe de \(f : x \mapsto \sqrt{x^2 + 1}\). Pour tout réel \(x\) :
On utilise le développement limité à l'ordre 1 au voisinage de 0 : \(\sqrt{1+u} = 1 + \frac{1}{2}u + o(u)\). Comme \(\frac{1}{x^2}\) tend vers 0 quand \(x\) tend vers \(\pm\infty\), il est légitime de composer :
Autrement dit :
En particulier, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \big(f(x) - x\big) = 0\) : la droite d'équation \(y = x\) est asymptote à la courbe de \(f\) au voisinage de \(+\infty\). De même (ou par parité), \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \big(f(x) + x\big) = 0\) : la droite d'équation \(y = -x\) est asymptote à la courbe de \(f\) au voisinage de \(-\infty\).
Mieux : ce développement asymptotique donne localement la position de la courbe par rapport à son asymptote. En effet,
donc la courbe de \(f\) est située au-dessus de son asymptote au voisinage de \(+\infty\). De manière analogue, \(f(x) - (-x) \underset{x\to-\infty}{\sim} -\dfrac{1}{2x} > 0\) pour \(x \lt 0\) : la courbe est aussi au-dessus de son asymptote au voisinage de \(-\infty\).