Colle 5 : réduction des endomorphismes

Questions de cours

Somme et somme directe de sous-espaces ; concaténation de bases ; dimension d'une somme directe.
Matrices semblables ; caractérisation par un même endomorphisme.
Matrice de passage ; changement de base pour un vecteur et pour un endomorphisme.
Valeur propre, vecteur propre ; caractérisations par le noyau et le rang.
Polynôme annulateur ; les valeurs propres sont parmi ses racines.
Diagonalisabilité : condition suffisante (cardinal du spectre), condition nécessaire et suffisante (sous-espaces propres).

Exercices traités

Démonstration : \(f\) injective \(\iff \operatorname{Ker} f = \{0_E\}\).
Interpolation : \(P \mapsto (P(\alpha_0), \dots, P(\alpha_n))\) est un isomorphisme.
\(\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)\) ; deux matrices semblables ont même trace.
Spectre de la dérivation sur \(\mathbb{R}[x]\) et sur \(\mathscr{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})\).
Spectre d'une matrice triangulaire.
Spectre de la matrice \(S\), en calculant d'abord \(S^2\).
Si \(f \circ g = g \circ f\), tout sous-espace propre de \(f\) est stable par \(g\).
Diagonalisabilité de deux matrices \(4 \times 4\) triangulaires.
Une matrice symétrique d'ordre 2 est diagonalisable.

La colle se termine par un exercice sur la réduction des endomorphismes et des matrices carrées.
Les questions de cours s'énoncent sans démonstration ; les numéros (Déf., Prop., ex.) sont ceux du poly de cours.
Les nombres complexes ne sont plus au programme.
Seul le déterminant des matrices d'ordre 2 est au programme.