Colle 4 : algèbre linéaire et début de la réduction

Questions de cours

Somme et somme directe de sous-espaces ; concaténation de bases ; dimension d'une somme directe.
Matrices semblables ; caractérisation par un même endomorphisme.
Matrice de passage ; changement de base pour un vecteur et pour un endomorphisme.
Valeur propre, vecteur propre ; caractérisations par le noyau et le rang.
Polynôme annulateur ; les valeurs propres sont parmi ses racines.
Diagonalisabilité : condition suffisante (cardinal du spectre), condition nécessaire et suffisante (sous-espaces propres).

Exercices traités

Démonstration : \(f\) injective \(\iff \operatorname{Ker} f = \{0_E\}\).
Interpolation : \(P \mapsto (P(\alpha_0), \dots, P(\alpha_n))\) est un isomorphisme.
\(\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)\) ; deux matrices semblables ont même trace.
Spectre de la dérivation sur \(\mathbb{R}[x]\) et sur \(\mathscr{C}^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R})\).
Spectre d'une matrice triangulaire.
Spectre de la matrice \(S\), en calculant d'abord \(S^2\).
Si \(f \circ g = g \circ f\), tout sous-espace propre de \(f\) est stable par \(g\).
Diagonalisabilité de deux matrices \(4 \times 4\) triangulaires.

La colle se termine par un exercice d'algèbre linéaire : applications linéaires, matrices, matrices de passage, changement de base, trace, réduction.
Sur la réduction, seuls des exercices élémentaires peuvent être posés cette semaine.
Les questions de cours s'énoncent sans démonstration ; les numéros (Déf., Prop., ex.) sont ceux du poly de cours.
Pour un spectre, on cherche d'abord des candidats (diagonale d'une matrice triangulaire, racines d'un polynôme annulateur), puis on les teste.