Colle 3 : révisions d'algèbre linéaire

Questions de cours

Famille génératrice, libre, base ; famille de polynômes de degrés deux à deux distincts.
Somme et somme directe de sous-espaces ; concaténation de bases ; dimension d'une somme directe.
Matrice d'une application linéaire ; compatibilité avec les opérations.
Formule du binôme de Newton (matrices ou endomorphismes qui commutent).
Image, noyau ; caractérisation des applications linéaires injectives.
Projection : image, noyau, vecteurs invariants.
Théorème du rang ; injectivité et surjectivité en même dimension finie.
Changement de base pour un vecteur et pour un endomorphisme.

Exercices traités

Une base de polynômes : \(P_0, P_1, P_2, P_3\) forment une base de \(\mathbb{R}_3[x]\).
Un endomorphisme de \(\mathbb{R}[x]\) surjectif non injectif, et un injectif non surjectif.
Toute matrice carrée est, de façon unique, somme d'une symétrique et d'une antisymétrique.
Si \(p \circ p = p\), alors \(E = \operatorname{Im} p \oplus \operatorname{Ker} p\).
Démonstration : \(f\) injective \(\iff \operatorname{Ker} f = \{0_E\}\).
Une base du noyau de \(P \mapsto P(1)\) sur \(\mathbb{R}_n[x]\).
Interpolation : \(P \mapsto (P(\alpha_0), \dots, P(\alpha_n))\) est un isomorphisme.

La colle se termine par un exercice sur l'algèbre linéaire de 1ère année (espaces vectoriels, applications linéaires, matrices).
La réduction des endomorphismes n'est pas encore au programme des exercices.
Le changement de base pour un endomorphisme doit être su en question de cours, mais ne sert pas encore en exercice.
Les projecteurs sont au programme, pas les symétries : si on les évoque, il faut d'abord les définir.