Algèbre bilinéaire, produit scalaire et espaces euclidiens

Partie I

Introduction : le produit scalaire vu au lycée

1Deux façons de définir un vecteur

Le mot « vecteur » a été rencontré, ces dernières années, dans deux contextes différents.

Au lycée, on s'est appuyé sur les axiomes de la géométrie d'Euclide. Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini à partir des points \(A\) et \(B\), dans cet ordre, et les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont égaux si les segments \([AD]\) et \([BC]\) ont même milieu. On définit ensuite l'addition des vecteurs et le produit d'un vecteur par un réel, d'où découlent toutes les propriétés bien connues des vecteurs du plan ou de l'espace.
En classe préparatoire, un vecteur est simplement un élément d'un espace vectoriel, lui-même défini comme un ensemble non vide vérifiant un certain nombre de propriétés.

En particulier, l'ensemble des vecteurs du plan au sens du lycée, muni de l'addition et de la multiplication par un réel, est un espace vectoriel au sens de la seconde définition. Comme souvent en mathématiques, on part d'une notion perceptible par nos sens, le vecteur de la géométrie d'Euclide, et on la généralise ensuite à des contextes plus élaborés. C'est ce que ce chapitre fait pour le produit scalaire.

2La définition géométrique

On suppose ici déjà connues les notions de vecteur du plan ou de l'espace, de longueur (ou norme), d'angle, de cosinus d'un angle et de base orthonormée.

Définition 1 · Produit scalaire de deux vecteurs du plan ou de l'espace (rappel)

Soient \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs du plan (ou de l'espace). On appelle produit scalaire des vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) le réel :

\[\vec u \cdot \vec v = \begin{cases} 0 & \text{si l'un des vecteurs } \vec u \text{ et } \vec v \text{ est nul,} \\ \|\vec u\|\,\|\vec v\|\,\cos(\widehat{\vec u, \vec v}) & \text{sinon.} \end{cases}\]

On n'a pas besoin de choisir une orientation du plan pour calculer ce cosinus, puisque \(\cos(-x) = \cos(x)\) pour tout réel \(x\).

Le produit scalaire \(\vec u \cdot \vec v\) vaut \(\|\vec u\|\) multiplié par la mesure algébrique \(\|\vec v\| \cos\theta\) de la projection de \(\vec v\) sur la direction de \(\vec u\).

On obtient ensuite, pour tous vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\) du plan ou de l'espace et pour tout réel \(\lambda\), les propriétés suivantes :

Symétrie : \(\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u\).
Positivité : \(\vec u \cdot \vec u \geqslant 0\).
Caractère défini : \(\vec u \cdot \vec u = 0 \implies \vec u = \vec 0\) (l'autre implication est évidente).
Linéarité à gauche : \((\lambda \vec u + \vec v) \cdot \vec w = \lambda\, \vec u \cdot \vec w + \vec v \cdot \vec w\). Avec la symétrie, elle entraîne la linéarité à droite, donc la bilinéarité.
Inégalité de Cauchy-Schwarz : \(|\vec u \cdot \vec v| \leqslant \|\vec u\|\,\|\vec v\|\).
Orthogonalité : \(\vec u \cdot \vec v = 0\) si et seulement si l'un des vecteurs est nul ou si l'angle \((\widehat{\vec u, \vec v})\) vaut \(\frac{\pi}{2}\) modulo \(\pi\), ce qui est, au lycée, la définition de « \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux ».

Tous ces points découlent immédiatement de la définition, sauf la linéarité à gauche (ou à droite), qui demande un peu plus de travail.

3Le calcul en base orthonormée

Soit \((\vec i, \vec j)\) une base orthonormée du plan : chacun des vecteurs \(\vec i\) et \(\vec j\) est de norme 1, et ils sont orthogonaux. Soient \(\vec u = x\vec i + y\vec j\) et \(\vec v = x'\vec i + y'\vec j\) deux vecteurs du plan. On développe le produit scalaire par bilinéarité :

\[\vec u \cdot \vec v = (x\vec i + y\vec j) \cdot (x'\vec i + y'\vec j) = xx'\,\vec i \cdot \vec i + xy'\,\vec i \cdot \vec j + x'y\,\vec j \cdot \vec i + yy'\,\vec j \cdot \vec j.\]

Comme la base est orthonormée, \(\vec i \cdot \vec i = \|\vec i\|^2 = 1\), \(\vec j \cdot \vec j = \|\vec j\|^2 = 1\) et \(\vec i \cdot \vec j = \vec j \cdot \vec i = 0\). D'où :

\[\vec u \cdot \vec v = xx' + yy'.\]

En particulier, pour \(\vec v = \vec i\), on obtient \(\vec u \cdot \vec i = x\), et pour \(\vec v = \vec j\), on obtient \(\vec u \cdot \vec j = y\). Finalement :

\[\vec u = (\vec u \cdot \vec i)\,\vec i + (\vec u \cdot \vec j)\,\vec j.\]

Dans une base orthonormée, la coordonnée de \(\vec u\) sur \(\vec i\) est \(\vec u \cdot \vec i\), et sa coordonnée sur \(\vec j\) est \(\vec u \cdot \vec j\).

Cette définition du lycée a pourtant deux inconvénients. D'une part, elle n'est donnée que pour deux vecteurs du plan ou de l'espace à trois dimensions : on n'a jamais défini, par exemple, le produit scalaire de deux polynômes. D'autre part, elle suppose connues les notions de norme, d'angle et de cosinus d'un angle, qui n'ont jamais été définies précisément.

Partie II

Produit scalaire

Généralisons la notion de produit scalaire à d'autres espaces vectoriels que le plan ou l'espace.

1Définition d'un produit scalaire

Définition 2 · Produit scalaire

Soit \(E\) un espace vectoriel. Un produit scalaire est une application \(\langle\cdot\,,\cdot\rangle : E \times E \to \mathbb{R}\), \((x, y) \mapsto \langle x, y\rangle\), vérifiant les propriétés suivantes :

linéarité à gauche : \(\forall (x, x', y) \in E^3,\ \forall \lambda \in \mathbb{R},\ \langle \lambda x + x', y\rangle = \lambda \langle x, y\rangle + \langle x', y\rangle\) ;
linéarité à droite : \(\forall (x, y, y') \in E^3,\ \forall \lambda \in \mathbb{R},\ \langle x, \lambda y + y'\rangle = \lambda \langle x, y\rangle + \langle x, y'\rangle\) ;
symétrie : \(\forall (x, y) \in E^2,\ \langle x, y\rangle = \langle y, x\rangle\) ;
positivité : \(\forall x \in E,\ \langle x, x\rangle \geqslant 0\) ;
caractère défini : \(\forall x \in E,\ \langle x, x\rangle = 0 \implies x = 0_E\).

Vocabulaire. Une application linéaire à gauche et à droite est dite bilinéaire.

Remarques

Le produit scalaire du vecteur nul par n'importe quel vecteur est nul : pour tout \(x \in E\), par linéarité à gauche, \(\langle 0_E, x\rangle = \langle 0 \times 0_E, x\rangle = 0 \times \langle 0_E, x\rangle = 0\). Ainsi, l'implication du caractère défini est une équivalence dès que l'application est linéaire à gauche ou à droite.
La linéarité à gauche et la symétrie impliquent la linéarité à droite, donc la bilinéarité.

À retenir · En une phrasepar cœur

Un produit scalaire est une forme bilinéaire symétrique définie positive.

Notations. Le produit scalaire \(\langle x, y\rangle\) de deux vecteurs est parfois noté \(\varphi(x, y)\), \((x \mid y)\) ou \(x \cdot y\).

Exemples Les applications suivantes sont des produits scalaires.

Produit scalaire usuel (ou canonique) sur \(\mathbb{R}^n\) : pour \(x = (x_1, \dots, x_n)\) et \(y = (y_1, \dots, y_n)\), \(\displaystyle\langle x, y\rangle = x_1y_1 + \cdots + x_ny_n = \sum_{i=1}^{n} x_iy_i\).
Produit scalaire usuel sur \(\MM_{n,1}(\mathbb{R})\) : pour \(X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\) et \(Y = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}\), \(\displaystyle\langle X, Y\rangle = {}^tXY = \sum_{i=1}^{n} x_iy_i\).
Plus généralement, sur un espace vectoriel \(E\) de dimension finie muni d'une base \((e_1, \dots, e_n)\) : pour \(\displaystyle x = \sum_{i=1}^{n} x_ie_i\) et \(\displaystyle y = \sum_{j=1}^{n} y_je_j\), \(\displaystyle\langle x, y\rangle = \sum_{i=1}^{n} x_iy_i\).
Sur \(\MM_n(\mathbb{R})\) : \(\varphi(A, B) = \tr({}^tAB)\).
Sur l'espace \(\mathscr{C}^0([a, b], \mathbb{R})\) des fonctions continues sur \([a, b]\) (\(a \lt b\)) à valeurs réelles : \(\displaystyle\varphi(f, g) = \int_a^b f(t)g(t)\,\mathrm{d}t\).
Sur l'espace \(\mathbb{R}[X]\) des polynômes à coefficients réels : \(\displaystyle\varphi(P, Q) = \int_0^{+\infty} P(t)Q(t)e^{-t}\,\mathrm{d}t\).

2Norme euclidienne

Définition 3 · Norme euclidienne

Soit \(E\) un espace vectoriel muni d'un produit scalaire \(\langle\cdot\,,\cdot\rangle\). Pour tout vecteur \(x \in E\), on appelle norme euclidienne du vecteur \(x\) le réel positif

\[\|x\| = \sqrt{\langle x, x\rangle}.\]

On définit ainsi une application \(\|\cdot\| : E \to \mathbb{R}_+\), \(x \mapsto \|x\|\), appelée norme euclidienne associée au produit scalaire \(\langle\cdot\,,\cdot\rangle\).

Les propriétés de la norme euclidienne se déduisent aisément de celles du produit scalaire.

Proposition 1 · Premières propriétés de la norme euclidienne

Soit \(E\) un espace vectoriel muni d'un produit scalaire \(\langle\cdot\,,\cdot\rangle\). La norme euclidienne vérifie les propriétés suivantes.

Séparation : pour tout \(x \in E\), \(\|x\| = 0 \iff x = 0_E\).
Homogénéité : pour tout \(x \in E\) et tout réel \(\lambda\), \(\|\lambda x\| = |\lambda|\,\|x\|\).
Pour tout couple \((x, y)\) de vecteurs de \(E\) : \(\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 + 2\langle x, y\rangle\).

Remarques

Dans le cas \(E = \mathbb{R}\), la valeur absolue \(x \mapsto |x|\) est la norme euclidienne associée au produit scalaire usuel \((x, y) \mapsto xy\). Le point 3 est alors l'identité remarquable de la classe de quatrième : \((x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy\).
L'application \(u = (x, y) \mapsto \sqrt{x^2 + y^2}\) est la norme euclidienne associée au produit scalaire usuel de \(\mathbb{R}^2\), \(\big((x, y), (x', y')\big) \mapsto xx' + yy'\).
Homogénéité et normalisation : pour tout vecteur \(x\) non nul de \(E\), le vecteur \(\dfrac{1}{\|x\|}\,x\) a pour norme 1.
L'identité de polarisation. Le point 3 s'écrit aussi :
\[\langle x, y\rangle = \frac{1}{2}\Big(\|x + y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2\Big).\]
On peut donc retrouver le produit scalaire à partir de la norme euclidienne.
La norme précède-t-elle le produit scalaire, ou l'inverse ? Dans la définition géométrique du lycée, la norme (ou longueur) précède le produit scalaire. Dans ce nouveau cadre, c'est le contraire : on s'appuie sur le produit scalaire pour définir une norme.

3L'inégalité de Cauchy-Schwarz

Proposition 2 · Inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d'égalitépar cœur

Soient \(E\) un espace vectoriel muni d'un produit scalaire \(\langle\cdot\,,\cdot\rangle\), \(x\) et \(y\) deux vecteurs de \(E\). Alors :

\[|\langle x, y\rangle| \leqslant \|x\|\,\|y\|.\]

Deux cas d'égalité :

\(|\langle x, y\rangle| = \|x\|\,\|y\| \iff x\) et \(y\) sont colinéaires ;
\(\langle x, y\rangle = \|x\|\,\|y\| \iff x\) et \(y\) sont positivement liés, c'est-à-dire qu'il existe \(\lambda \in \mathbb{R}_+\) tel que \(y = \lambda x\) ou \(x = \lambda y\).

Remarque. Avec la définition géométrique du lycée, l'inégalité de Cauchy-Schwarz est évidente : elle dit simplement qu'un cosinus est toujours compris entre \(-1\) et \(1\). Comme on a choisi ici une autre définition du produit scalaire, elle nécessite une démonstration.

Exemples On peut décliner l'inégalité de Cauchy-Schwarz avec chacun des produits scalaires rencontrés plus haut.

Pour tous \((x_1, \dots, x_n)\) et \((y_1, \dots, y_n)\) de \(\mathbb{R}^n\) :
\[\left|\sum_{i=1}^{n} x_iy_i\right| \leqslant \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}\,\sqrt{\sum_{i=1}^{n} y_i^2}.\]
Pour toutes matrices \(A\) et \(B\) de \(\MM_n(\mathbb{R})\) :
\[|\tr({}^tAB)| \leqslant \sqrt{\tr({}^tAA)}\,\sqrt{\tr({}^tBB)}.\]
Pour toutes fonctions \(f\) et \(g\) continues sur \([a, b]\) :
\[\left|\int_a^b f(t)g(t)\,\mathrm{d}t\right| \leqslant \sqrt{\int_a^b f(t)^2\,\mathrm{d}t}\,\sqrt{\int_a^b g(t)^2\,\mathrm{d}t}.\]

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)

Mathématicien français. Il entre à 16 ans à l'École polytechnique, devient ingénieur militaire, puis professeur à la faculté des sciences de Paris, à l'École polytechnique et au Collège de France ; il est élu à l'Académie des sciences. Son œuvre est considérable, notamment en analyse, à laquelle il donne un cadre rigoureux en définissant précisément la continuité et l'intégrale. On lui doit aussi des travaux de physique, sur l'élasticité et l'astronomie.

Hermann Amandus Schwarz (1843-1921)

Mathématicien allemand. Ses travaux sont marqués par une forte interaction entre l'analyse et la géométrie.

Voici un corollaire important de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Proposition 3 · L'inégalité triangulaire, cas d'égalité

Soit \(E\) un espace vectoriel muni d'un produit scalaire \(\langle\cdot\,,\cdot\rangle\). Soient \(x\) et \(y\) deux vecteurs de \(E\). On a :

\[\|x + y\| \leqslant \|x\| + \|y\|.\]

Cette inégalité est une égalité si et seulement si les vecteurs \(x\) et \(y\) sont positivement liés, c'est-à-dire s'il existe un réel positif \(\lambda\) vérifiant \(y = \lambda x\) ou \(x = \lambda y\).

La longueur du côté \(x + y\) ne dépasse pas la somme des longueurs des deux autres côtés ; l'égalité n'a lieu que si le triangle est aplati, avec \(x\) et \(y\) de même sens.

4Orthogonalité, théorème de Pythagore

Définition 4 · Vecteurs orthogonaux, familles orthogonales, familles orthonormales

Soit \(E\) un espace vectoriel muni d'un produit scalaire \(\langle\cdot\,,\cdot\rangle\).

Deux vecteurs \(x\) et \(y\) de \(E\) sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul ; on note alors \(x \perp y\). Autrement dit : \(x \perp y \iff \langle x, y\rangle = 0\).
Une famille \((\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n)\) de vecteurs de \(E\) est dite orthogonale si elle est formée de vecteurs deux à deux orthogonaux :
\[\forall (i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^2,\quad (i \neq j \implies \varepsilon_i \perp \varepsilon_j).\]
Une famille \((\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n)\) de vecteurs de \(E\) est dite orthonormale ou orthonormée si elle est orthogonale et formée de vecteurs unitaires, c'est-à-dire de norme 1 :
\[\forall (i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^2,\ (i \neq j \implies \varepsilon_i \perp \varepsilon_j) \quad \text{et} \quad \forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket,\ \|\varepsilon_i\| = 1.\]

Remarques

Le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de \(E\) : \(\forall x \in E,\ \langle x, 0_E\rangle = 0\). C'est le seul à vérifier cette propriété, d'après le caractère défini du produit scalaire : \(\langle x, x\rangle = 0 \implies x = 0_E\).
Les vecteurs \(u_1 = (1, 3)\) et \(u_2 = (-3, 1)\) de \(\mathbb{R}^2\) sont orthogonaux pour le produit scalaire usuel : \(1 \times (-3) + 3 \times 1 = 0\).
Considérons l'application \(\varphi : \big((x, y), (x', y')\big) \mapsto xx' + 2yy'\) sur \(\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2\). On vérifie sans difficulté que c'est une forme bilinéaire symétrique définie positive, donc un produit scalaire sur \(\mathbb{R}^2\). Pour ce nouveau produit scalaire, les vecteurs \(u_1\) et \(u_2\) ne sont pas orthogonaux : \(\varphi(u_1, u_2) = 1 \times (-3) + 2 \times 3 \times 1 = 3 \neq 0\).

Attention !

La notion d'orthogonalité dépend du choix du produit scalaire.

Proposition 4 · Le théorème de Pythagorepar cœur

Soit \(E\) un espace vectoriel muni d'un produit scalaire \(\langle\cdot\,,\cdot\rangle\). Deux vecteurs \(x\) et \(y\) de \(E\) sont orthogonaux si et seulement si :

\[\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2.\]

Plus généralement, si \((x_1, \dots, x_n)\) est une famille orthogonale de \(E\), alors :

\[\left\|\sum_{k=1}^{n} x_k\right\|^2 = \sum_{k=1}^{n} \|x_k\|^2.\]

Remarque. Le théorème de Pythagore est un cas particulier de l'identité du parallélogramme, \(\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 = 2\big(\|x\|^2 + \|y\|^2\big)\), qui s'obtient en ajoutant les développements de \(\|x + y\|^2\) et \(\|x - y\|^2\). Si \(ABCD\) est un parallélogramme, elle s'écrit :

\[\|\overrightarrow{AC}\|^2 + \|\overrightarrow{BD}\|^2 = 2\big(\|\overrightarrow{AB}\|^2 + \|\overrightarrow{BC}\|^2\big).\]

Lorsque le parallélogramme est un rectangle, ses diagonales ont même longueur, et l'on obtient le fameux théorème de Pythagore : \(\|\overrightarrow{AC}\|^2 = \|\overrightarrow{AB}\|^2 + \|\overrightarrow{BC}\|^2\).

La somme des carrés des diagonales (en couleur) vaut la somme des carrés des quatre côtés. Dans un rectangle, les deux diagonales sont égales : on retrouve Pythagore.

Pythagore (vers 569 av. J.-C. - vers 500 av. J.-C.)

Mathématicien et philosophe grec. Il visite l'Égypte, Babylone, l'Asie Mineure et retourne à Samos, puis s'exile en Sicile et en Italie du Sud. Il fonde une école qui fonctionne comme une secte : pour les pythagoriciens, le monde s'explique par le nombre. La découverte de l'irrationalité de \(\sqrt 2\) ébranle leurs croyances, et ses disciples la cachent longtemps. Le théorème qui porte son nom semble avoir été connu des Babyloniens, et on ne sait pas s'il en a donné une démonstration. Il s'intéresse aussi à la musique et construit une gamme très proche de la gamme actuelle.

Proposition 5 · Liberté des familles orthogonales (ne contenant pas le vecteur nul)

Soit \(E\) un espace vectoriel muni d'un produit scalaire \(\langle\cdot\,,\cdot\rangle\). Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls de \(E\) est libre. En particulier, toute famille orthonormale est libre.

5Sous-espaces orthogonaux

Définition 5 · Sous-espaces orthogonaux

Soient \(E\) un espace vectoriel muni d'un produit scalaire \(\langle\cdot\,,\cdot\rangle\), \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\). On dit que \(F\) et \(G\) sont orthogonaux, et on note \(F \perp G\), si tout vecteur de \(F\) est orthogonal à tout vecteur de \(G\), autrement dit si :

\[\forall (x, y) \in F \times G,\quad \langle x, y\rangle = 0.\]

Exemple Dans \(E = \mathbb{R}^n\) muni du produit scalaire usuel, l'hyperplan \(H = \{x = (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n \,;\, x_1 + \cdots + x_n = 0\}\) et la droite vectorielle \(D = \Vect(u)\), où \(u = (1, 1, \dots, 1)\), sont orthogonaux : \(H \perp D\). En effet, pour \(x \in H\), \(\langle x, u\rangle = x_1 + \cdots + x_n = 0\).

Le cas \(n = 2\) : la droite \(H\) d'équation \(x_1 + x_2 = 0\) est perpendiculaire à la droite \(D\) dirigée par \(u = (1, 1)\). Pour \(n = 3\), \(H\) est le plan perpendiculaire à la droite dirigée par \((1, 1, 1)\).

Proposition 6 · Caractérisation de l'orthogonalité de deux sous-espaces au moyen de familles génératrices

Soient \(E\) un espace vectoriel muni d'un produit scalaire, \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\), \((f_1, \dots, f_p)\) une famille génératrice de \(F\) et \((g_1, \dots, g_q)\) une famille génératrice de \(G\). Alors :

\[F \perp G \iff \forall (i, j) \in \llbracket 1, p \rrbracket \times \llbracket 1, q \rrbracket,\quad f_i \perp g_j.\]

Exemple Dans \(\mathbb{R}^4\) muni du produit scalaire usuel, les sous-espaces \(F = \Vect\big((1, -1, 0, 0), (0, 0, 1, -1)\big)\) et \(G = \Vect\big((1, 1, 1, 1)\big)\) sont orthogonaux, puisque \((1, -1, 0, 0) \perp (1, 1, 1, 1)\) et \((0, 0, 1, -1) \perp (1, 1, 1, 1)\).

Définition 6 · Orthogonal d'un sous-espace vectoriel

Soit \(E\) un espace vectoriel muni d'un produit scalaire. Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\). On appelle orthogonal de \(F\), et l'on note \(F^\perp\), l'ensemble des vecteurs de \(E\) qui sont orthogonaux à tous les vecteurs de \(F\) :

\[F^\perp = \{x \in E \,;\, \forall y \in F,\ x \perp y\} = \{x \in E \,;\, \forall y \in F,\ \langle x, y\rangle = 0\}.\]

Exemple Dans \(\mathbb{R}^3\) muni du produit scalaire usuel, l'orthogonal du plan \(F = \Vect\big((1, 0, 0), (0, 1, 0)\big)\) est la droite \(F^\perp = \Vect\big((0, 0, 1)\big)\) : d'après la proposition 6, un vecteur \((x, y, z)\) est dans \(F^\perp\) si et seulement si \(x = 0\) et \(y = 0\).

Proposition 7 · L'orthogonal d'un sous-espace vectoriel est un sous-espace vectoriel

Soit \(E\) un espace vectoriel muni d'un produit scalaire. Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\). Alors \(F^\perp\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

Remarque. Si \(F\) et \(G\) sont deux sous-espaces vectoriels de \(E\), on a : \(F \perp G \iff F \subset G^\perp \iff G \subset F^\perp\).

Quelques propriétés utiles, valables même si \(E\) n'est pas de dimension finie :

deux sous-espaces orthogonaux sont en somme directe (un vecteur de \(F \cap G\) est orthogonal à lui-même, donc nul) ; plus généralement, des sous-espaces deux à deux orthogonaux sont en somme directe ;
\(\{0_E\}^\perp = E\) et \(E^\perp = \{0_E\}\) ;
si \(F \subset G\), alors \(G^\perp \subset F^\perp\), et l'on a toujours \(F \subset (F^\perp)^\perp\). En dimension infinie, cette inclusion peut être stricte ;
dans \(\mathbb{R}^n\) muni du produit scalaire usuel, l'orthogonal de la droite \(\Vect(u)\), où \(u = (a_1, \dots, a_n)\) est non nul, est l'hyperplan d'équation \(a_1x_1 + \cdots + a_nx_n = 0\).

III

Partie III

Espaces euclidiens

1Définition d'un espace euclidien

Définition 7 · Espace euclidien

On appelle espace euclidien un espace vectoriel de dimension finie muni d'un produit scalaire.

Exemples

L'espace \(\mathbb{R}^n\) muni du produit scalaire canonique est un espace euclidien.
Si \((E, \langle\cdot\,,\cdot\rangle)\) est un espace euclidien et si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), la restriction à \(F\) du produit scalaire confère à \(F\) une structure d'espace euclidien.

2Bases orthonormées

Définition 8 · Bases orthogonales, bases orthonormées

Soit \((E, \langle\cdot\,,\cdot\rangle)\) un espace euclidien. On dit d'une famille de vecteurs de \(E\) que c'est une :

base orthogonale de \(E\) si elle est à la fois une base de \(E\) et une famille orthogonale ;
base orthonormée (ou orthonormale) de \(E\) si elle est à la fois une base de \(E\) et une famille orthonormale.

Exemple La base canonique de \(\mathbb{R}^n\) est orthonormée pour le produit scalaire usuel (canonique).

3Décomposition d'un vecteur dans une base orthonormée

Proposition 8 · Calculs dans une base orthonorméepar cœur

Soit \((E, \langle\cdot\,,\cdot\rangle)\) un espace euclidien de dimension \(n \geqslant 1\). On suppose que \(\BB = (\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n)\) est une base orthonormée de \(E\) (on verra plus loin qu'il en existe). Soient \(x\) et \(y\) deux vecteurs de \(E\), \(X = \Mat_{\BB}(x)\) et \(Y = \Mat_{\BB}(y)\). Alors :

Décomposition d'un vecteur : \(\displaystyle x = \sum_{i=1}^{n} \langle x, \varepsilon_i\rangle\,\varepsilon_i\).
Expression du produit scalaire : \(\displaystyle \langle x, y\rangle = \sum_{i=1}^{n} \langle x, \varepsilon_i\rangle \langle y, \varepsilon_i\rangle = {}^tXY\).
Calcul de la norme : \(\displaystyle \|x\|^2 = \sum_{i=1}^{n} \langle x, \varepsilon_i\rangle^2 = {}^tXX\).

Remarques

Comme une base orthonormée \((\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n)\) est en particulier une base, on sait déjà que tout vecteur \(x\) de \(E\) s'écrit de façon unique \(x = x_1\varepsilon_1 + \cdots + x_n\varepsilon_n\). Ce qui est commode quand la base est orthonormée, c'est que l'on peut calculer explicitement les coordonnées : \(\forall i \in \llbracket 1, n \rrbracket,\ x_i = \langle x, \varepsilon_i\rangle\).
Ces formules montrent que le produit scalaire \(\langle x, y\rangle\) et la norme \(\|x\|\) ne dépendent pas de la base orthonormée choisie pour décomposer \(x\) et \(y\). Si \(\BB_\varepsilon = (\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n)\) et \(\BB_e = (e_1, \dots, e_n)\) sont deux bases orthonormées de \(E\), alors
\[\langle x, y\rangle = \sum_{i=1}^{n} \langle x, \varepsilon_i\rangle \langle y, \varepsilon_i\rangle = \sum_{i=1}^{n} \langle x, e_i\rangle \langle y, e_i\rangle,\]
bien que \(\langle x, \varepsilon_i\rangle\) ne soit pas nécessairement égal à \(\langle x, e_i\rangle\). Autrement dit, si \(X = \Mat_{\BB_\varepsilon}(x)\), \(Y = \Mat_{\BB_\varepsilon}(y)\), \(X' = \Mat_{\BB_e}(x)\) et \(Y' = \Mat_{\BB_e}(y)\), alors \({}^tXY = {}^tX'Y'\).

4Changement de base orthonormée

Définition 9 · Matrice orthogonale

Soit \(P \in \MM_n(\mathbb{R})\). La matrice \(P\) est dite orthogonale si elle vérifie \({}^tPP = I_n\).

Exemples de matrices orthogonales :

Pour tout \((\sigma_1, \dots, \sigma_n) \in \{-1, 1\}^n\), la matrice diagonale \(D = \operatorname{diag}(\sigma_1, \dots, \sigma_n)\).
Pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\), les matrices
\[\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.\]
En particulier, les matrices \(\dfrac{1}{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) sont orthogonales.

Proposition 9 · Caractérisation des matrices orthogonalespar cœur

Soit \(P \in \MM_n(\mathbb{R})\), de colonnes \(C_1, \dots, C_n \in \MM_{n,1}(\mathbb{R})\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

la matrice \(P\) est orthogonale, c'est-à-dire \({}^tPP = I_n\) ;
la matrice \(P\) est inversible et \(P^{-1} = {}^tP\) ;
\(P\,{}^tP = I_n\) ;
la famille \((C_1, \dots, C_n)\) est une base orthonormée de \(\MM_{n,1}(\mathbb{R})\) muni du produit scalaire usuel, c'est-à-dire :
\[\forall (i, j) \in \llbracket 1, n \rrbracket^2,\quad {}^tC_iC_j = \delta_{i,j} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j, \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}\]

Proposition 10 · Caractérisation des bases orthonormées par leur matrice dans une base orthonormée

Soit \((E, \langle\cdot\,,\cdot\rangle)\) un espace euclidien. On suppose que \(\BB = (e_1, \dots, e_n)\) est une base orthonormée de \(E\) et que \(\BB' = (\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n)\) est une base de \(E\). Notons \(P\) la matrice de passage de la base \(\BB\) à la base \(\BB'\). Alors :

\[\BB' \text{ est orthonormée} \iff P \text{ est orthogonale}.\]

5Existence de bases orthonormées : le procédé de Gram-Schmidt

Proposition 11 · Procédé d'orthogonalisation de Gram-Schmidt

Soit \(E\) un espace vectoriel muni d'un produit scalaire \(\langle\cdot\,,\cdot\rangle\). On suppose que \((u_1, \dots, u_n)\) est une famille libre de vecteurs de \(E\). Il existe une famille orthonormale \((w_1, \dots, w_n)\) de vecteurs de \(E\) vérifiant :

\[\forall k \in \llbracket 1, n \rrbracket,\quad \Vect(w_1, \dots, w_k) = \Vect(u_1, \dots, u_k).\]

Méthode · Orthonormaliser une famille libre

1Premier vecteurPoser \(w_1 = \dfrac{u_1}{\|u_1\|}\).
2Retirer les projectionsPour \(k \geqslant 2\), poser \(v_k = u_k - \displaystyle\sum_{i=1}^{k-1} \langle u_k, w_i\rangle\,w_i\) : ce vecteur est orthogonal à \(w_1, \dots, w_{k-1}\).
3NormerPoser \(w_k = \dfrac{v_k}{\|v_k\|}\) (\(v_k\) est non nul car la famille \((u_1, \dots, u_k)\) est libre).

On n'obtient pas seulement l'existence d'une famille orthonormale : on a un algorithme pour la construire à partir de \((u_1, \dots, u_n)\). La matrice de passage de \((u_1, \dots, u_n)\) à \((w_1, \dots, w_n)\) est triangulaire supérieure, à coefficients diagonaux strictement positifs.

Proposition 12 · Existence de bases orthonormées d'un espace euclidienpar cœur

Tout espace euclidien non réduit au vecteur nul admet (au moins) une base orthonormée.

Jørgen Pedersen Gram (1850-1916)

Mathématicien danois. Il débute sa carrière dans une compagnie d'assurances, tout en poursuivant ses travaux en mathématiques : analyse numérique, théorie des nombres, probabilités et statistiques. Il publie aussi un modèle mathématique destiné à maximiser le profit dans la gestion d'une forêt.

Erhard Schmidt (1876-1959)

Mathématicien allemand, élève de David Hilbert. Il obtient une chaire d'analyse à l'université de Berlin, où il remplace Hermann Schwarz. Ses travaux portent sur l'analyse fonctionnelle, les équations intégrales et la topologie.

6Supplémentaire orthogonal

Proposition 13 · Supplémentaire orthogonalpar cœur

Soient \((E, \langle\cdot\,,\cdot\rangle)\) un espace euclidien et \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\). On a alors :

\[E = F \oplus F^\perp.\]

Dans un espace euclidien, tout vecteur \(x\) s'écrit de façon unique \(x = x_F + x_{F^\perp}\), avec \(x_F \in F\) et \(x_{F^\perp} \in F^\perp\).

Remarque. On savait déjà que \(F\) et \(F^\perp\) sont en somme directe (même quand \(E\) n'est pas de dimension finie), et l'on disposait bien sûr de l'inclusion \(F \oplus F^\perp \subset E\). C'est donc l'inclusion \(E \subset F \oplus F^\perp\) qui est nouvelle :

\[\forall x \in E,\quad \exists!\,(x_F, x_{F^\perp}) \in F \times F^\perp,\quad x = x_F + x_{F^\perp}.\]

Interprétation. On savait déjà que tout sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\) admet au moins un supplémentaire (en général, \(F\) en admet une infinité). Parmi ces supplémentaires se trouve le supplémentaire orthogonal.

Proposition 14 · Orthogonal de l'orthogonal

Soient \((E, \langle\cdot\,,\cdot\rangle)\) un espace euclidien et \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\). On a alors :

\[(F^\perp)^\perp = F.\]

Exemple Soit \(u = (a_1, \dots, a_n)\) un vecteur non nul de \(\mathbb{R}^n\) muni du produit scalaire usuel. On a vu que \(\big(\Vect(u)\big)^\perp = H\), où \(H\) est l'hyperplan d'équation \(a_1x_1 + \cdots + a_nx_n = 0\). La proposition 14 permet d'en déduire :

\[H^\perp = \Big(\big(\Vect(u)\big)^\perp\Big)^\perp = \Vect(u).\]

Par exemple, dans \(\mathbb{R}^3\), l'orthogonal du plan d'équation \(2x - y + 3z = 0\) est la droite \(\Vect\big((2, -1, 3)\big)\).

Attention !

Si \(E\) est un espace vectoriel de dimension infinie muni d'un produit scalaire et \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\), l'égalité \((F^\perp)^\perp = F\) n'est pas toujours vraie. L'inclusion \(F \subset (F^\perp)^\perp\), elle, est toujours vraie.

Enfin, voici la version « orthonormée » du théorème de la base incomplète.

Proposition 15 · Complétion d'une famille orthonormée en une base orthonormée

Soit \((E, \langle\cdot\,,\cdot\rangle)\) un espace euclidien de dimension \(n \in \mathbb{N}^*\). On suppose que \((\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_p)\) est une famille orthonormée de vecteurs de \(E\) (en particulier, \(1 \leqslant p \leqslant n\)). Il existe alors des vecteurs \(\varepsilon_{p+1}, \dots, \varepsilon_n\) tels que la famille \((\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n)\) soit une base orthonormée de \(E\).