On appelle polynôme à coefficients dans $\mathbb{R}$ toute fonction du type :
\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots + a_n x^n = \sum_{k=0}^{n} a_k x^k\]Les nombres réels $a_0, a_1, \dots, a_n$ s'appellent les coefficients du polynôme $P$.
- On appelle polynôme nul le polynôme dont tous les coefficients sont nuls. On le note $0_{\mathbb{R}[x]}$.
- L'ensemble des polynômes à coefficients réels se note $\mathbb{R}[x]$.
- On appelle degré du polynôme $P(x)$ la plus grande puissance de $x$ présente dans l'expression de $P(x)$. Par convention, si $P = 0_{\mathbb{R}[x]}$, on pose $\deg(P) = -\infty$.
- Un polynôme de degré $n$ s'écrit donc : $P(x) = a_n x^n + \underbrace{\cdots}_{\text{termes de deg} \le n-1}$ ou $P(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k x^k$ avec $a_n \neq 0$. $a_n$ s'appelle coefficient dominant ; c'est donc le coefficient de la plus grande puissance de $x$.
- On dit que $P$ est un polynôme unitaire lorsque son coefficient dominant vaut $1$.
Soient $P$ et $Q$ deux polynômes. On définit dans $\mathbb{R}[x]$ les quatre opérations suivantes dont le résultat est un polynôme :
- une somme, notée $P(x) + Q(x)$
- une multiplication par un nombre notée $a.P(x)$ où $a \in \mathbb{R}$
- un produit noté $P(x) \times Q(x)$ ou $P(x)Q(x)$
- une composition notée $P\big(Q(x)\big)$
Le calcul d'un polynôme sera terminé lorsqu'on aura une somme de puissances entières de $x$ (rangées dans l'ordre croissant ou dans l'ordre décroissant).
Un produit de polynômes est nul ssi l'un des polynômes du produit est nul. Ainsi, on a l'équivalence :
\[P(x) \times Q(x) = 0_{\mathbb{R}[x]} \quad \Leftrightarrow \quad P(x) = 0_{\mathbb{R}[x]} \text{ ou } Q(x) = 0_{\mathbb{R}[x]}\]Tout polynôme s'écrit de manière unique sous la forme $P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots + a_n x^n$.
Ainsi, deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients respectifs sont égaux.
Le degré d'un polynôme, c'est la plus grande puissance de $x$. Pour le déterminer, inutile de calculer tous les coefficients !
Soient $(P,Q) \in \mathbb{R}[x]^2$.
- Degré d'un produit : $\deg(P \times Q) = \deg(P) + \deg(Q)$ et $\deg(P^r(x)) = r\deg(P)$. En particulier, si $a \neq 0$ alors $\deg((ax+b)^r) = r$.
- Degré d'une somme : si $\deg(P) \neq \deg(Q)$ alors $\deg(P+Q) = \max\big(\deg(P), \deg(Q)\big)$. Par contre, si $\deg(P) = \deg(Q)$ alors il n'y a pas de règle : il faut revenir à la recherche du terme de plus haut degré.
On appelle $\mathbb{R}_n[x]$ l'ensemble des polynômes de degré $\le n$. Ainsi
\[\mathbb{R}_n[x] = \{ P \in \mathbb{R}[x] \ \text{tq} \ \deg(P) \le n \} = \{ P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n \ \text{où} \ (a_0, a_1, \dots, a_n) \in \mathbb{R}^{n+1} \}\]| Énoncé | Traduction |
|---|---|
| $P \in \mathbb{R}_n[x]$ | $\Leftrightarrow \ \deg(P) \le n$ |
| $\Leftrightarrow \ \exists (a_0,\dots,a_n) \in \mathbb{R}^{n+1} \ \text{tq} \ P(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0 = \sum_{k=0}^n a_k x^k$ | |
| $\Leftrightarrow \ P(x) = a_n x^n + \underbrace{\cdots}_{\text{termes de deg} \le n-1}$ | |
| $P$ polynôme unitaire de degré $n$ | $\Leftrightarrow \ P(x) = 1.x^n + \underbrace{\cdots}_{\text{termes de deg} \le n-1}$ |
- On appelle polynôme dérivé de $P$ le polynôme $P'(x)$ obtenu en calculant la dérivée de $P(x)$. Ainsi, si $P(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k$ alors $P'(x) = \sum_{k=0}^n k\,a_k x^{k-1} = \sum_{i=0}^{n-1}(i+1)a_{i+1}x^i$
- Pour $k \in \mathbb{N}^*$, on appelle dérivée $k^{\text{ième}}$ de $P$ le polynôme obtenu en dérivant $k$ fois le polynôme $P$. On le note $P^{(k)}$.
- Par convention, on pose $P^{(0)} = P$.
Soit $P \in \mathbb{R}[x]$ avec $\deg(P) = n \ge 1$.
- $\deg[P'] = n-1$, $\deg[P^{(2)}] = n-2$ et pour tout $j \in \llbracket 0,n\rrbracket$, $\ \deg[P^{(j)}] = n-j$
- $P^{(j)} = 0_{\mathbb{R}[x]}$ pour tout $j > n$
- $P^{(n)} = a_n.n!$ où $a_n$ est le coefficient dominant de $P$
- Un polynôme admet une dérivée à n'importe quel ordre.
- Les règles de calcul d'une dérivée $k^{\text{ième}}$ sont les mêmes que celles utilisées pour les fonctions. En particulier, $\forall k \in \mathbb{N}$, $\ (P+Q)^{(k)} = P^{(k)} + Q^{(k)}$ et $\forall \lambda \in \mathbb{R}$, $\ (\lambda P)^{(k)} = \lambda P^{(k)}$
Soit $P$ un polynôme de degré $n \in \mathbb{N}$ et soit $\alpha \in \mathbb{R}$. On a la formule suivante, appelée formule de Taylor :
\[P(x) = P(\alpha) + P'(\alpha)(x-\alpha) + \frac{P^{(2)}(\alpha)}{2!}(x-\alpha)^2 + \cdots + \frac{P^{(n)}(\alpha)}{n!}(x-\alpha)^n \quad \text{càd} \quad P(x) = \sum_{k=0}^n \frac{P^{(k)}(\alpha)}{k!}(x-\alpha)^k\]On dit qu'une famille $(R_0, R_1, R_2, \dots, R_n)$ est une base de $\mathbb{R}_n[x]$ si tout polynôme de $\mathbb{R}_n[x]$ peut s'écrire de manière unique sous la forme :
\[P(x) = c_0 R_0 + c_1 R_1 + \cdots + c_n R_n\]Le $n$-uplet $(c_0, \dots, c_n)$ s'appelle coordonnées de $P$ dans la base $(R_0, R_1, \dots, R_n)$.
Soit $n \in \mathbb{N}$ et $a \in \mathbb{R}$. La famille $\big((x-a)^0, (x-a)^1, (x-a)^2, \dots, (x-a)^n\big)$ est une base de $\mathbb{R}_n[x]$.
On dit qu'une famille $(P_0, P_1, P_2, \dots, P_n)$ est constituée de polynômes de degrés échelonnés si $\forall k \in \llbracket 0,n \rrbracket$, $\ \deg(P_k) = k$.
Toute famille $(P_0, P_1, P_2, \dots, P_n)$ constituée de $n+1$ polynômes de degrés échelonnés de $0$ à $n$ est une base de $\mathbb{R}_n[x]$.
- Soit $A \in \mathbb{R}[x]$ et $B \in \mathbb{R}[x]$ avec $B \neq 0_{\mathbb{R}[x]}$. Il existe un unique couple $(Q,R) \in \mathbb{R}[x]^2$ tels que :
$Q$ et $R$ s'appellent respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$.
Lorsque $R(x) = 0_{\mathbb{R}[x]}$, on dit que $B(x)$ divise $A(x)$.
- Écrire le théorème de division euclidienne. À l'aide de la condition sur les degrés, donner l'allure du reste ($=$ les inconnues à trouver).
- Choisir des valeurs de « $x$ » particulières pour créer autant d'équations que d'inconnues.
- Résoudre le système obtenu pour trouver les coefficients du reste.
On considère un polynôme $P(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$ donc $\deg(P) = 2$). On note $\Delta$ le discriminant de l'équation $P(x) = 0$.
- Si $\Delta \ge 0$ alors l'équation $P(x)=0$ admet deux solutions réelles $x_1$ et $x_2$ (éventuellement confondues). Le polynôme $P(x)$ se factorise alors en :
- Si $\Delta < 0$ alors l'équation $P(x) = 0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$, le polynôme $P$ ne se factorise pas.
Soient $x_1$ et $x_2$ les solutions de l'équation $(E)$ : $ax^2 + bx + c = 0$. On a les formules suivantes :
\[x_1 \times x_2 = \frac{c}{a} \qquad \text{et} \qquad x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\]Dans tout ce paragraphe, $P$ est un polynôme non nul cad $P \in \mathbb{R}[x]$ avec $P \neq 0_{\mathbb{R}[x]}$.
On dit qu'un réel $\alpha$ est une racine de $P$ ssi $P(\alpha) = 0$.
Soit $P \in \mathbb{R}[x]$, $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$ des réels 2 à 2 distincts.
- $\alpha_1$ est racine de $P$ $\Leftrightarrow$ $P(\alpha_1) = 0$ $\Leftrightarrow$ $(x-\alpha_1)$ divise $P$ $\Leftrightarrow$ $\exists Q \in \mathbb{R}[x]$ tq $P(x) = (x-\alpha_1)Q(x)$
- $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_r$ racines deux à deux distinctes de $P$ $\Leftrightarrow$ $\exists Q \in \mathbb{R}[x]$ tq $P(x) = \displaystyle\prod_{i=1}^{r}(x-\alpha_i)\,Q(x)$
On dit qu'un réel $\alpha$ est une racine de $P$ de multiplicité $k$ (ou racine de $P$ d'ordre $k$), avec $k \in \mathbb{N}^*$, ssi il existe un polynôme $Q \in \mathbb{R}[x]$ tel que $P(x) = (x-\alpha)^k Q(x)$ avec $Q(\alpha) \neq 0$.
Lorsque $k=1$, on dit que $\alpha$ est racine simple ; lorsque $k=2$, on dit que $\alpha$ est une racine double.
Dans un polynôme non nul de degré $n$, la somme des multiplicités des racines est $\le n$.
Soit $P \in \mathbb{R}[x]$ avec $P \neq 0_{\mathbb{R}[x]}$. Soit $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que $P(\alpha) = 0$ ($\alpha$ est donc une racine de $P$).
- Si on a : $P(\alpha) = P'(\alpha) = P^{(2)}(\alpha) = \cdots = P^{(r-1)}(\alpha) = 0$ (avec $r \in \mathbb{N}^*$ fixé) alors $(x-\alpha)^r$ divise $P$ donc $\alpha$ est une racine de $P$ de multiplicité au moins $r$ donc $P(x) = (x-\alpha)^r Q(x)$.
- $\alpha$ est une racine d'ordre $r \in \mathbb{N}$ de $P$ ssi $P(\alpha) = P'(\alpha) = P^{(2)}(\alpha) = \cdots = P^{(r-1)}(\alpha) = 0$ et $P^{(r)}(\alpha) \neq 0$
Factoriser un polynôme $P$ dans $\mathbb{R}[x]$ c'est l'écrire sous forme d'un produit de termes de degré 1 ou de degré 2 sans racine réelle, c'est à dire avec $\Delta < 0$.
- Chercher une racine et sa multiplicité pour mettre en facteur le terme correspondant.
- Recommencer sur la partie restante que l'on peut déterminer grâce à la division euclidienne.