- On appelle expérience aléatoire toute expérience pour laquelle on ne peut pas prédire, avant de l'exécuter, le résultat qu'elle va donner.
- L'ensemble des résultats d'une expérience aléatoire s'appelle l'univers de l'expérience aléatoire. On le note \(\Omega\).
- Un événement est un fait qui peut se produire ou ne pas se produire lorsqu'on réalise l'expérience.
- Tout événement est identifié à l'ensemble des résultats qui le réalisent.
Soit \(E\) un ensemble à \(n\) éléments avec \(E = \{x_1, x_2, \dots, x_n\}\) et soit \(p \in \mathbb{N}^*\).
- On appelle \(p\)-liste d'éléments de \(E\) (ou \(p\)-uplet) tout élément \(\omega\) du type \(\omega = (x_1, x_2, \dots, x_p)\) avec \(\forall i \in [\![1,p]\!],\ x_i \in E\). Ainsi une \(p\)-liste de \(E\) est un élément de \(E^p\). Le nombre de \(p\)-listes est \(n^p\).
- On appelle combinaison de \(p\) éléments de \(E\) tout sous-ensemble constitué de \(p\) éléments de \(E\). Le nombre de combinaisons de \(p\) éléments de \(E\) est \(\binom{n}{p} = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}\) si \(p \in [\![0,n]\!]\) ; \(0\) si \(p > n\).
- Un événement est impossible lorsqu'il est représenté par \(\emptyset\).
- Un événement est certain lorsqu'il est représenté par \(\Omega\).
- On appelle événement élémentaire tout événement représenté par un singleton.
Soit \(\mathcal{E}\) une expérience aléatoire et \(\Omega\) l'univers de cette expérience aléatoire.
1) Soit \(A\) et \(B\) deux événements :
- L'événement « \(A\) n'est pas réalisé » est représenté par \(\overline{A}\).
- L'événement « \(A\) et \(B\) sont réalisés simultanément » est représenté par \(A \cap B\).
- L'événement « \(A\) ou \(B\) est réalisé » est représenté par \(A \cup B\).
2) Soit \((A_n)_{n \in I}\) une famille d'événements (avec \(I \subset \mathbb{N}\)) :
- L'événement « l'un au moins des \(A_n\) est réalisé » est représenté par \(\displaystyle\bigcup_{n \in I} A_n\).
- L'événement « tous les \(A_n\) sont réalisés simultanément » est représenté par \(\displaystyle\bigcap_{n \in I} A_n\).
- \(A\) et \(B\) sont incompatibles lorsque \(A \cap B = \emptyset\).
- \(A\) et \(B\) sont contraires lorsque \(A = \overline{B}\).
- \(A\) implique \(B\) lorsque la réalisation de \(A\) entraîne automatiquement celle de \(B\). Ainsi, l'événement « \(A\) implique \(B\) » est réalisé lorsque \(A \subset B\).
Soit \(\Omega\) l'univers d'une expérience aléatoire. On dit que \(\{A_1, A_2, \dots, A_n\}\) forment un système complet d'événements (s.c.e.) ssi
Soit \(\Omega\) un ensemble fini. On note \(\mathcal{P}(\Omega)\) l'ensemble des parties de \(\Omega\). On appelle probabilité sur \((\Omega, \mathcal{P}(\Omega))\) toute application \(\mathbb{P} : \mathcal{P}(\Omega) \to [0,1]\), \(A \mapsto \mathbb{P}(A)\) vérifiant :
- \(\mathbb{P}(\Omega) = 1\)
- Si \(A\) et \(B \in \mathcal{P}(\Omega)\) avec \(A \cap B = \emptyset\), alors \(\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)\).
Le triplet \((\Omega, \mathcal{P}(\Omega), \mathbb{P})\) s'appelle espace probabilisé.
Soient \(A\) et \(B\) deux événements. On a :
- \(\mathbb{P}(\overline{A}) = 1 - \mathbb{P}(A)\)
- \(\mathbb{P}(\emptyset) = 0\)
- Si \(A \cap B = \emptyset\) alors \(\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)\). Dans le cas général, \(\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)\).
- Si \(A \subset B\) alors \(\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B)\) et \(\mathbb{P}(B \setminus A) = \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A)\).
On dit qu'une expérience aléatoire présente une situation d'équiprobabilité lorsque \(\Omega\) est fini et qu'aucun événement élémentaire n'est privilégié par rapport aux autres quant à sa réalisation. Pour ce type d'expérience, on utilise la probabilité uniforme :
Une variable aléatoire discrète est une application qui associe un nombre à chaque résultat de l'expérience. On note \(X(\Omega)\) l'ensemble des valeurs prises par la var. \(X\), et pour des réels \(a, b\) avec \(a < b\), on note \((X=a)\), \((X \geq a)\), \((a \leq X < b)\), etc. pour désigner les événements qui réalisent ces relations.
- On peut utiliser sur les événements exprimés à l'aide de \(X\) les opérations sur les ensembles : ainsi \(\overline{(X \leq a)} = (X > a)\) et \((a \leq X < b) = (X \leq b) \cap (X \geq a) = (X < b) \cap \overline{(X < a)}\).
- Dans ce chapitre, \(\Omega\) est un univers fini, donc \(X(\Omega)\) est un ensemble fini.
Soit \(X\) une variable aléatoire discrète. Déterminer la loi de \(X\), c'est préciser \(X(\Omega)\) puis calculer, pour tout \(k \in X(\Omega)\), \(\mathbb{P}(X=k)\).
Soit \(X\) une variable aléatoire discrète. La famille \(\{(X=k)\}_{k \in X(\Omega)}\) est un s.c.e. et on a
Soit \(X\) une var. discrète. On appelle espérance de \(X\) le nombre réel défini par :
Pour deux événements \(A\) et \(B\) (avec \(\mathbb{P}(A) \neq 0\)), on pourra calculer la probabilité de réaliser \(B\) sachant que \(A\) est réalisé. On la note \(\mathbb{P}_A(B)\). On a alors :
Soit \(A, B, C\) des événements avec \(\mathbb{P}(A \cap B) \neq 0\). On a :
\(\mathbb{P}(A \cap B \cap C) = \mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}_A(B) \times \mathbb{P}_{A \cap B}(C)\).
Soit \(n \in \mathbb{N}\) avec \(n \geq 2\) et \((\Omega, \mathcal{P}(\Omega), \mathbb{P})\) un espace probabilisé. Soit \(A_1, \dots, A_n\) des événements tels que \(\mathbb{P}(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_{n-1}) \neq 0\). On a :
Lorsque la réalisation de \(B\) n'est pas influencée par la réalisation ou non de \(A\), on dit que \(A\) et \(B\) sont indépendants et on a \(\mathbb{P}_A(B) = \mathbb{P}(B)\). Dans ce cas, on a :
(C'est notamment le cas des résultats successifs d'un lancer de dé, d'une pièce, ou d'un tirage avec remise dans une urne.)
- Si \(A \cap B = \emptyset\) alors \(\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)\).
- Dans le cas général, \(\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)\).
Soient \(A_1, \dots, A_n\) des événements.
- Si les \(A_i\) sont deux à deux incompatibles (\(A_i \cap A_j = \emptyset\) pour \(i \neq j\)) alors \(\displaystyle \mathbb{P}\Big(\bigcup_{i=1}^n A_i\Big) = \sum_{i=1}^n \mathbb{P}(A_i)\).
- Cas d'une réunion quelconque (on ne traite que le cas de 2 et 3 événements ; on ne sait pas faire \(n\) quelconque) :
Soit \((\Omega, \mathcal{P}(\Omega), \mathbb{P})\) un espace probabilisé et soit \(\{A_i\}_{1 \leq i \leq n}\) un système complet d'événements. Pour tout événement \(B\), on a :
Soit \((\Omega, \mathcal{P}(\Omega), \mathbb{P})\) un espace probabilisé, \(\{A_j\}_{1 \leq j \leq n}\) un système complet d'événements. On suppose que \(\forall j \in [\![1,n]\!]\), \(\mathbb{P}(A_j) \neq 0\). Soit \(B\) un événement avec \(\mathbb{P}(B) \neq 0\) ; on a \(\forall i_0 \in [\![1,n]\!]\),
\(X\) suit une loi uniforme sur \([\![1,n]\!]\) ssi \(X\) prend chaque valeur de \([\![1,n]\!]\) avec la même probabilité. On note alors \(X \hookrightarrow \mathcal{U}([\![1,n]\!])\) :
- Situation type : on choisit au hasard un numéro entre 1 et \(n\). \(X =\) numéro choisi, alors \(X \hookrightarrow \mathcal{U}([\![1,n]\!])\).
- Espérance : si \(X \hookrightarrow \mathcal{U}([\![1,n]\!])\) alors \(\mathbb{E}(X) = \dfrac{n+1}{2}\).
\(X\) suit une loi de Bernoulli ssi \(X(\Omega) = \{0,1\}\). On note alors \(X \hookrightarrow \mathcal{B}(p)\) avec \(p = \) paramètre de la loi \(= \) proba du succès \(= \mathbb{P}(X=1)\). Ainsi, on a :
- Situation type : on obtient une loi de Bernoulli à chaque fois qu'on réalise une expérience à deux issues possibles : un succès (marqué 1, réalisé avec la proba \(p\)) ou un échec (marqué 0, réalisé avec la proba \(q = 1-p\)).
- Espérance : si \(X \hookrightarrow \mathcal{B}(p)\) alors \(\mathbb{E}(X) = p\).
On dit que \(X\) suit une loi binomiale de paramètre \(n, p\) ssi \(X\) compte le nombre total de succès obtenus en répétant \(n\) fois la même expérience de Bernoulli de paramètre \(p\). On note alors \(X \hookrightarrow \mathcal{B}(n,p)\). On a :
- Situation type : on répète \(n\) fois la même expérience de Bernoulli (où \(p = \) proba du succès de chaque Bernoulli). Soit \(X\) la var. égale au nombre total de succès obtenus. Alors \(X \hookrightarrow \mathcal{B}(n,p)\).
- Espérance : si \(X \hookrightarrow \mathcal{B}(n,p)\) alors \(\mathbb{E}(X) = n \times p\).
Dans tout ce paragraphe, \((\Omega, \mathcal{P}(\Omega), \mathbb{P})\) est un espace probabilisé quelconque.
Soit \((\Omega, \mathcal{P}(\Omega), \mathbb{P})\) un espace probabilisé.
- On dit que deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants ssi \(\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \times \mathbb{P}(B)\).
- On dit que des événements \(A_1, A_2, \dots, A_n\) sont indépendants deux à deux ssi \(\forall (i,j) \in [\![1,n]\!]^2\) avec \(i \neq j\), \(\mathbb{P}(A_i \cap A_j) = \mathbb{P}(A_i) \times \mathbb{P}(A_j)\).
- On dit que \(A_1, A_2, \dots, A_n\) sont mutuellement indépendants ssi la probabilité de toute intersection est égale au produit des probas, c'est-à-dire ssi \(\forall N \in [\![2,n]\!]\), \(\forall (i_1, i_2, \dots, i_N) \in [\![1,n]\!]^N\) distincts 2 à 2, on a :
Soit \(A\) un événement avec \(\mathbb{P}(A) \neq 0\). On appelle probabilité conditionnelle sachant que \(A\) est réalisé l'application \(\mathbb{P}_A\) définie sur \(\mathcal{P}(\Omega)\) par :
\(\mathbb{P}_A(B)\) se note aussi \(\mathbb{P}(B \mid A)\) et s'appelle « probabilité que \(B\) se réalise sachant que \(A\) est réalisé ».
\(\mathbb{P}_A\) définie ci-dessus est une probabilité. Elle possède donc les propriétés d'une probabilité. Ainsi :
- \(\mathbb{P}_A(C \cup D) = \mathbb{P}_A(C) + \mathbb{P}_A(D) - \mathbb{P}_A(C \cap D)\)
- \(\mathbb{P}_A(\overline{D}) = 1 - \mathbb{P}_A(D)\)
- Soit \(B_1, B_2, \dots, B_n\) des événements 2 à 2 incompatibles. On a \(\displaystyle \mathbb{P}_A\Big(\bigcup_{i=1}^n B_i\Big) = \sum_{i=1}^n \mathbb{P}_A(B_i)\).
Si \(A = \displaystyle\bigcap_{i=1}^n B_i\) alors on regarde si les événements \((B_i)_i\) sont indépendants :
- si indépendance : \(\displaystyle \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}\Big(\bigcap_{i=1}^n B_i\Big) = \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(B_i)\)
- sinon : utiliser la formule des probabilités composées : \(\displaystyle \mathbb{P}(A) = \mathbb{P}\Big(\bigcap_{i=1}^n B_i\Big) = \mathbb{P}(B_1) \times \mathbb{P}_{B_1}(B_2) \times \mathbb{P}_{B_1 \cap B_2}(B_3) \times \dots \times \mathbb{P}_{B_1 \cap \dots \cap B_{n-1}}(B_n)\)