Ensembles, Applications

Un ensemble \(E\) est défini par l'écriture entre accolades de ses éléments ou d'une propriété qui les caractérise.

Si \(x\) est un élément de \(E\), on note \(x \in E\) (qui se lit « \(x\) appartient à \(E\) »). Si \(x\) n'appartient pas à \(E\), on note \(x \notin E\).

Soit \(E\) et \(F\) deux ensembles. On appelle produit cartésien de \(E\) et \(F\) l'ensemble \(E \times F\) défini par :

Pour \(n \in \mathbb{N}^*\) fixé, on pose :

Soit \(E\) et \(F\) deux ensembles.

• On dit que \(E\) est inclus dans \(F\), noté \(E \subset F\), ssi \(E\) est un sous-ensemble de \(F\). Ainsi, \(E \subset F \iff \forall x \in E,\ x \in F\). Si \(\exists x \in E\) tel que \(x \notin F\) alors \(E \not\subset F\).
• Les ensembles \(E\) et \(F\) sont égaux ssi ils ont les mêmes éléments. On le note \(E = F\).
• On dit qu'un ensemble \(E\) est vide ssi \(E\) ne contient aucun élément. On note \(E = \varnothing\).

Soit \(E\) un ensemble et soit \(A \subset E\). On appelle complémentaire de \(A\) dans \(E\) l'ensemble des éléments de \(E\) qui ne sont pas dans \(A\). On le note \(\overline{A}\).

On a : \(x \in \overline{A} \iff x \notin A\).

Soit \(E\) et \(F\) deux ensembles. Leur intersection, notée \(E \cap F\), est définie par :

Soit \((A_n)_{n \geq 0}\) une famille d'ensembles. Leur intersection, notée \(\displaystyle\bigcap_{n=0}^{+\infty} A_n\), est définie par :

(un élément \(x\) est dans l'intersection s'il est dans \(A_0\) et dans \(A_1\) et dans \(A_2\) et… c'est-à-dire si \(x\) est dans chacun des \(A_n\))

Soit \(E\) et \(F\) deux ensembles. Leur réunion, notée \(E \cup F\), est définie par :

Soit \((A_n)_{n \geq 0}\) une famille d'ensembles. Leur réunion, notée \(\displaystyle\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\), est définie par :

(un élément \(x\) est dans la réunion s'il est dans l'un, au moins, des \(A_n\))

Soit \(A\) et \(B\) deux sous-ensembles de \(E\). On dit que \(A\) et \(B\) sont disjoints ssi \(A \cap B = \varnothing\).

Soit \((A_n)_{n \in I}\) une famille de sous-ensembles non vides de \(E\). On dit que \((A_n)_{n \in I}\) est une partition de \(E\) ssi

On note alors \(\displaystyle\bigsqcup_{n \in I} A_n = E\).

On appelle partie d'un ensemble \(E\) tout sous-ensemble de \(E\).

L'ensemble des parties de \(E\) se note \(\mathcal{P}(E)\).

Si \(A \subset E\) alors \(A\) est une partie de \(E\) et on note \(A \in \mathcal{P}(E)\).

Soit \(E, F\) deux ensembles et soit \(f : E \to F\) une application. Pour tout sous-ensemble \(B\) de \(F\), on appelle image réciproque de \(B\) par \(f\) l'ensemble noté \(f^{-1}(B)\) défini par :

Ainsi, on a : \(x \in f^{-1}(B) \iff f(x) \in B\)

Soit \(E, F\) deux ensembles et soit \(f : E \to F\) une application. Pour toute partie \(A\) de \(E\), on appelle image directe de \(A\) par \(f\) l'ensemble noté \(f(A)\) constitué des images des éléments de \(A\) par \(f\). Ainsi :

On a alors : \(y \in f(A) \iff\) il existe \(x \in A\) tel que \(y = f(x)\)

Soit \(f : E \to F\) une application. On dit que \(f\) est bijective ssi tout élément \(y\) de \(F\) admet un unique antécédent \(x\) dans \(E\). Ainsi,

On dit alors que \(f\) est une bijection de \(E\) sur \(F\). Dans ce cas, l'application \(\begin{array}{ccc} F & \to & E \\ y & \mapsto & x \end{array}\) s'appelle la bijection réciproque de \(f\) et se note \(f^{-1}\).

On a alors, pour tout \((x,y) \in E \times F\), l'équivalence :

Soit \(E, F\) deux ensembles et soit \(f : E \to F\) une application. On dit que \(f\) est surjective ssi \(f(E) = F\).

Soit \(E, F\) deux ensembles et soit \(f : E \to F\) une application. On dit que \(f\) est injective ssi :

\(f\) est injective lorsque des éléments qui ont la même image sont nécessairement égaux. Ainsi, \(f\) est injective ssi tout élément de \(F\) a au plus un antécédent.