Soit \(A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & .. & a_{1p} \\ a_{21} & a_{22} & .. & a_{2p} \\ .. & .. & & .. \\ a_{n1} & a_{n2} & .. & a_{np} \end{pmatrix} \in M_{n,p}(\mathbb{R})\), \(X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_p \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}\) deux matrices colonnes.
L'égalité \(A \times X = B\) est l'écriture matricielle du système linéaire \((S)\) à \(n\) équations et \(p\) inconnues :
\(A\) est la matrice associée au système (\(k^{\text{ième}}\) colonne de \(A\) = coefficients de la \(k^{\text{ième}}\) inconnue). \(X\) est la matrice colonne des inconnues et \(B\) la matrice colonne du second membre.
Résoudre \((S)\) revient à chercher les matrices colonnes \(X\) telles que \(A \times X = B\), c'est-à-dire les \(p\)-uplets \((x_1,\dots,x_p) \in \mathbb{R}^p\) solutions de chacune des \(n\) équations.
On dit qu'un système est homogène lorsque son second membre est nul.
- Un système homogène admet toujours au moins une solution (car \(X = 0\) vérifie \(AX = 0\)).
- Si le système admet une autre solution que la solution nulle, alors il y a une infinité de solutions.
- Tout système homogène \(AX = 0\) admet ou bien une unique solution \(X = 0\), ou bien une infinité de solutions.
- Un système \(AX = B\) peut admettre aucune solution, une seule solution, ou une infinité de solutions.
Principe : On transforme, par des opérations sur les lignes, le système initial en un système triangulaire ayant les mêmes solutions.
On utilise une ligne, appelée ligne pivot, pour éliminer l'une des inconnues (de notre choix) dans TOUTES les autres égalités écrites en dessous. On répète l'opération jusqu'à ce qu'il n'y ait plus d'inconnue à éliminer (ou plus de ligne pivot pour le faire).
Afin de conserver des systèmes ayant les mêmes solutions, les seules opérations autorisées sont :
- \(L_i \leftarrow \alpha L_i + \beta L_p\) avec \(\alpha \neq 0\) et \(\beta\) quelconque (\(L_p\) étant la ligne pivot)
- ou \(L_i \leftrightarrow L_j\) (pour échanger les lignes \(L_i\) et \(L_j\))
On peut choisir l'ordre d'élimination des inconnues et la ligne utilisée comme pivot (quitte à la replacer au bon endroit). Par contre, il faudra TOUJOURS expliquer ce qui est fait (et que cela corresponde à l'une des opérations autorisées).
Soit \(A \in M_n(\mathbb{R})\).
- \(A\) inversible \(\iff\) le système \(A \times X = O\) admet pour unique solution \(X = 0\).
- Si \(\exists X_0 \neq 0\) telle que \(AX_0 = 0\) alors \(A\) n'est pas inversible.
- Si on note \(K_1, K_2, .., K_n\) les colonnes de \(A\), résoudre \(AX = 0\) revient à chercher \(x_1, x_2, .., x_n\) tels que \(x_1 K_1 + x_2 K_2 + .. + x_n K_n = 0\).
- Ainsi si on peut reconstituer la colonne nulle à l'aide des colonnes de \(A\), alors \(A\) n'est pas inversible. Par exemple une matrice ayant deux colonnes identiques ou ayant une colonne nulle n'est pas inversible.
Soit \(A \in M_n(\mathbb{R})\) et \(K_1, K_2, .., K_n\) les colonnes de \(A\).
- On dit que les colonnes \(K_1, K_2, .., K_n\) sont liées s'il existe une relation non triviale entre elles (c'est-à-dire si on peut reconstituer la colonne nulle à partir de ces colonnes). Sinon, ces colonnes non liées sont dites libres.
- On appelle rang de \(A\) le nombre maximum de colonnes libres.
Soit \(A \in M_n(\mathbb{R})\). On note \(K_1, K_2, .., K_n\) ses colonnes. On a les équivalences suivantes :
\(A\) est inversible \(\iff\) le système linéaire \(A \times X = O\) admet pour unique solution \(X = O\)
\(\iff\) la famille \((K_1, K_2, .., K_n)\) est libre
\(\iff\) \(rg(A) = n\)
\(A\) est non inversible \(\iff\) le système linéaire \(A \times X = O\) admet au moins une solution \(\neq 0\)
\(\iff\) la famille \((K_1, K_2, .., K_n)\) est liée
\(\iff\) \(rg(A) < n\)
- Une matrice triangulaire est inversible \(\iff\) tous ses coefficients diagonaux sont \(\neq 0\).
- Une matrice diagonale est inversible \(\iff\) tous ses coefficients diagonaux sont \(\neq 0\).
- Si \(M\) est une matrice \(2\times 2\) avec \(M = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}\) alors \(M\) est inversible \(\iff ad - bc \neq 0\).
Soit un système linéaire à \(n\) équations et \(n\) inconnues ayant pour écriture matricielle \(A \times X = B\). On dit que c'est un système de Cramer ssi la matrice \(A\) est inversible.
Un système de Cramer \(A \times X = B\) admet une unique solution \(X_0\) donnée par \(X_0 = A^{-1} \times B\).
Soit \(A \in M_n(\mathbb{R})\). On suppose que pour \(Y = \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}\) quelconque le système \(A \times X = Y\) admet une unique solution, notée \(Z\), alors \(A\) est inversible et \(A^{-1}\) est donné par la relation \(Z = A^{-1} \times Y\).
Lorsque \(A \in M_3(\mathbb{R})\), on prend \(X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\), \(Y = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\) et on résout le système \(S : A \times X = Y\).
- Si \(S\) a une seule solution, \(A\) est inversible et la valeur de \(X\) permet d'écrire \(A^{-1}\).
- Sinon (c'est-à-dire si \(S\) est sans solution ou \(S\) a plusieurs solutions) alors \(A\) n'est pas inversible.
Bien repérer la question :
- Pour prouver que \(A\) est inversible : résoudre \(AX = O\).
- Pour calculer \(A^{-1}\) : résoudre \(AX = Y\) avec \(Y\) quelconque.