Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que :
\[\forall x \in I,\quad F'(x) = f(x)\]- Si $F$ est une primitive de $f$, alors les primitives de $f$ sont $F + c$ où $c \in \mathbb{R}$.
- Si la fonction $f$ est continue sur $I$ (avec $I$ intervalle de $\mathbb{R}$), alors $f$ admet une primitive $F$ sur $I$.
| Fonction $f$ | Primitive $F$ | Conditions |
|---|---|---|
| $a$ | $ax$ | $a \in \mathbb{R}$ |
| $x^n$ | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | $n \in \mathbb{Z},\ n \neq -1$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x|$ | $x \neq 0$ |
| $e^x$ | $e^x$ | — |
| $\ln x$ | $x\ln x - x$ | $x > 0$ |
| $\cos x$ | $\sin x$ | — |
| $\sin x$ | $-\cos x$ | — |
| $\tan x$ | $-\ln|\cos x|$ | $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ |
| $\dfrac{1}{1+x^2}$ | $\arctan x$ | — |
| $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ | $\tan x$ | — |
| $\sqrt{x}$ | $\dfrac{2}{3}x^{3/2}$ | $x \geq 0$ |
| $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}$ | $x > 0$ |
| $x^{\alpha}$ | $\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ | $\alpha \in \mathbb{R}\setminus\{-1\},\ x > 0$ |
| $f$ | Primitive $F$ |
|---|---|
| $u'u^n$ | $\dfrac{u^{n+1}}{n+1},\ n \neq -1$ |
| $\dfrac{u'}{u}$ | $\ln|u|$ |
| $u'e^u$ | $e^u$ |
| $u'\cos u$ | $\sin u$ |
| $u'\sin u$ | $-\cos u$ |
| $\dfrac{u'}{1+u^2}$ | $\arctan u$ |
| $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ | $2\sqrt{u}$ |
Soit $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ et soit $f$ continue sur le segment reliant $a$ et $b$. On appelle intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ le nombre :
\[\int_a^b f(t)\,dt = \Big[F(t)\Big]_{t=a}^{t=b} = F(b) - F(a)\]où $F$ est l'une des primitives de $f$.
2. La variable d'intégration est muette : on peut la remplacer par n'importe quelle autre lettre. Ainsi : \[\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(t)\,dt = \int_a^b f(u)\,du\]
Pour calculer une intégrale, il faut trouver une primitive de $f$, c'est-à-dire une fonction $F$ telle que $F' = f$.
Pour calculer l'intégrale d'un quotient, il faut transformer la fonction. Voici quelques méthodes :
Soit $f$ continue sur $[a,b]$ et $u$ une fonction qui vérifie :
- $u$ est de classe $C^1$ sur $[\alpha,\beta]$,
- $u$ réalise une bijection de $[\alpha,\beta]$ sur $[a,b]$ (avec $u(\alpha) = a$ et $u(\beta) = b$).
On a alors la formule de changement de variable :
\[\int_a^b f(x)\,dx = \int_\alpha^\beta f(u(t))\,u'(t)\,dt\]- Écrire l'égalité entre la nouvelle variable et l'ancienne variable puis dériver des deux côtés de $=$. Pour créer l'égalité des blocs 1 et 2 : $t = \varphi(x)$ ou $x = \varphi(t)$
- Délimiter les blocs 1 et 2 dans l'ancienne intégrale et remplacer chacun dans la nouvelle (bloc 2 = tout ce qui n'est pas dans le bloc 1).
- S'occuper pour finir de modifier les bornes (en utilisant le bloc 2).
Soient $u$ et $v$ deux fonctions de classe $C^1$ sur $[a,b]$. Alors :
\[\int_a^b u(t)\,v'(t)\,dt = \Big[u(t)\,v(t)\Big]_{t=a}^{t=b} - \int_a^b u'(t)\,v(t)\,dt\]Preuve : il suffit de remarquer que $uv' = (uv)' - u'v$ et d'intégrer cette égalité.
Pour calculer l'intégrale avec des fonctions trigonométriques, on utilise les formules :
Soit $I$ intervalle de $\mathbb{R}$, $(a,b) \in I^2$ et soit $f, g$ continues sur $I$. On a :
- $\displaystyle\int_a^b (f+g)(t)\,dt = \int_a^b f(t)\,dt + \int_a^b g(t)\,dt$
- $\displaystyle\forall \lambda \in \mathbb{R},\quad \int_a^b \lambda f(t)\,dt = \lambda \int_a^b f(t)\,dt$
- $\displaystyle\forall (\lambda,\mu) \in \mathbb{R}^2,\quad \int_a^b (\lambda f + \mu g)(t)\,dt = \lambda\int_a^b f(t)\,dt + \mu\int_a^b g(t)\,dt$
Soient $f_1, f_2, \dots, f_n$ des fonctions continues sur $I$, alors on a :
\[\int_a^b \sum_{k=1}^n f_k(t)\,dt = \sum_{k=1}^n \int_a^b f_k(t)\,dt\]Soit $I$ intervalle de $\mathbb{R}$ et soit $f$ continue sur $I$.
- $\displaystyle\forall (a,b,c) \in I^3,\quad \int_a^b f(t)\,dt + \int_b^c f(t)\,dt = \int_a^c f(t)\,dt$ (relation de Chasles)
- Pour $(a,b) \in I^2$ : $\displaystyle\int_a^a f(t)\,dt = 0$ et $\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt = -\int_b^a f(t)\,dt$
- Pour $(x_0,x_1,\dots,x_n) \in I^{n+1}$ :
Soit $f : [-a,a] \to \mathbb{R}$ avec $f$ continue sur $[-a,a]$.
- Si $f$ est une fonction impaire alors $\displaystyle\int_{-a}^{a} f(t)\,dt = 0$
- Si $f$ est une fonction paire alors $\displaystyle\int_{-a}^{a} f(t)\,dt = 2\int_0^a f(t)\,dt$
Soit $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ avec $a < b$ et soit $f$ continue sur $[a,b]$.
Si $f$ est positive sur $[a,b]$ (c'est-à-dire $\forall t \in [a,b],\, f(t) \geq 0$) et si $a \leq b$, alors :
\[\int_a^b f(t)\,dt \geq 0\]Soit $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ avec $a < b$ et soit $f, g$ continues sur $[a,b]$.
Si $\forall t \in [a,b],\ f(t) \leq g(t)$ alors :
\[\int_a^b f(t)\,dt \leq \int_a^b g(t)\,dt \qquad \text{et} \qquad \left|\int_a^b f(t)\,dt\right| \leq \int_a^b |f(t)|\,dt\]Soit $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ avec $a < b$ et soit $f$ continue sur $[a,b]$.
- Si $f$ est positive et non nulle sur $[a,b]$ alors $\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt > 0$
- Si $f$ est positive sur $[a,b]$ et si $\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt = 0$ alors $f$ est nulle sur $[a,b]$ : $\forall t \in [a,b],\ f(t) = 0$
Si on sait seulement que $\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt = 0$, on ne peut rien dire sur $f$.
2. Pour encadrer une intégrale, on encadre la fonction à intégrer sur $t \in [a,b]$ (le fermé d'intégration), puis on intègre l'inégalité obtenue.
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ et soit $a \in I$. Pour $x \in I$ on pose :
\[F(x) = \int_a^x f(t)\,dt\]- La fonction $F$ ainsi définie est dérivable sur $I$ et $\forall x \in I,\ F'(x) = f(x)$.
- $F$ est donc une primitive de la fonction continue $f$ sur $I$.