On dit qu'une suite \((u_n)_n\) est géométrique de raison \(q\) lorsqu'elle est définie par une relation du type :
(avec \(q\) constante indépendante de \(n\))
- La suite \((q^n)_n\) est une suite géométrique de raison \(q\) ; les suites \((\lambda q^n)_n\) (avec \(\lambda\) réel fixé) le sont aussi.
- Si \((u_n)_n\) est une suite géométrique de raison \(q\) et de premier terme \(u_{n_0}\), alors \[\exists\, \lambda \in \mathbb{R} \text{ tq } \forall n \geq n_0,\quad u_n = \lambda q^n\] (où \(\lambda\) est calculé avec le premier terme de la suite). On a la formule : \[\forall n \geq n_0, \quad u_n = u_{n_0}\, q^{\,n-n_0}\]
On dit qu'une suite \((u_n)_n\) est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 ssi elle vérifie une relation du type :
(avec \(a\) et \(b\) des nombres indépendants de \(n\), et \(b \neq 0\))
On définit alors l'équation caractéristique associée à cette suite :
(on l'obtient en remplaçant le terme de plus petit indice par « 1 », le suivant par « \(r\) » et le dernier par « \(r^2\) »)
Terme général d'une suite récurrente linéaire d'ordre 2 : Soit \((u_n)_n\) une suite récurrente linéaire d'ordre 2 avec \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+2} = a u_{n+1} + b u_n\) (où \(a,b\) réels et \(b \neq 0\)). Soit \((E): r^2 = ar+b\) l'équation caractéristique associée. On note \(\Delta\) son discriminant. Les solutions de l'équation caractéristique permettent de créer le terme général de la suite \((u_n)_n\). Plus précisément :
| Cas | Solution de (E) | 2 suites de base | Terme général |
|---|---|---|---|
| \(\Delta > 0\) | deux solutions dans \(\mathbb{R}\) : \(s\) et \(t\) | \((s^n)_n\) et \((t^n)_n\) | \(\exists (\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2\) tq \(\forall n \in \mathbb{N},\; u_n = \lambda s^n + \mu t^n\) |
| \(\Delta = 0\) | une racine double : \(s\) | \((s^n)_n\) et \((ns^n)_n\) | \(\exists (\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2\) tq \(\forall n \in \mathbb{N},\; u_n = \lambda s^n + \mu n s^n\) |
Dans chaque cas, deux constantes \(\lambda\) et \(\mu\) à calculer, si nécessaire, à l'aide des premiers termes.
- Écrire puis résoudre l'équation caractéristique
- Écrire l'allure du terme général à l'aide du théorème (selon le cas \(\Delta > 0\) ou \(\Delta = 0\))
- Déterminer \(\lambda\) et \(\mu\) en donnant des valeurs à \(n\).
On dit qu'une suite \((u_n)_n\) est arithmético-géométrique lorsqu'elle est définie par une relation du type :
(avec \(a\) et \(b\) constantes indépendantes de \(n\))
- Introduire un réel \(\ell\) tel que \(\ell = a\ell + b\) (pour trouver \(\ell\) résoudre l'équation)
- Introduire une suite annexe \((w_n)_n\) définie par : \(\forall n\), \(w_n = u_n - \ell\), et montrer que cette suite \((w_n)_n\) est géométrique de raison \(a\)
- Déterminer une expression de \(w_n\) en fonction de \(n\) puis en déduire \(u_n\) (car \(u_n = w_n + \ell\))
Soit \(x \in \mathbb{R}\). On appelle partie entière de \(x\) le plus grand des entiers relatifs inférieurs ou égaux à \(x\). On le note \(\lfloor x \rfloor\) et on a :
Lorsque les termes \(u_n\) finissent par dépasser n'importe quel réel, aussi grand soit-il, on dit que la suite \((u_n)_n\) tend vers \(+\infty\). On note alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty\). Mathématiquement, cette définition s'écrit :
Lorsque les termes \(u_n\) finissent par être plus petits que n'importe quel réel négatif, on dit que la suite \((u_n)_n\) tend vers \(-\infty\). On note alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = -\infty\). Mathématiquement, cette définition s'écrit :
Lorsque les termes \(u_n\) se rapprochent d'un réel \(L\), on dit que la suite \((u_n)_n\) tend vers \(L\) et on note \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = L\). Mathématiquement, cette définition s'écrit :
Si on trouve une suite \((v_n)_n\) telle que \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(0 \leq |u_n - L| \leq v_n\) avec \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n = 0\) alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = L\)
On dit que la suite \((u_n)_n\) converge ssi la suite \((u_n)_n\) admet une limite finie.
On dit que la suite \((u_n)_n\) diverge ssi elle ne converge pas.
Ainsi \((u_n)_n\) est une suite divergente ssi elle tend vers \(+\infty\), vers \(-\infty\) ou lorsque sa limite n'existe pas.
Soit \(f\) une fonction définie sur \(I\) et \((u_n)_n\) une suite telle que \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(u_n \in I\).
- Si \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = a\) et \(\displaystyle\lim_{t\to a} f(t) = L\) alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} f(u_n) = L\) (ici \(a\) et \(L\) sont des limites réelles ou infinies)
- En particulier, si \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = a\) avec \(a \in \mathbb{R}\) et \(f\) continue en \(a\), alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} f(u_n) = f(a)\)
Soit \((u_n)_n\) une suite géométrique de raison \(q\) (avec \(q \neq 1\))
- Si \(|q| < 1\) alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = 0\)
- Si \(|q| \geq 1\) alors la suite \((u_n)_n\) diverge.
Les règles de calculs sur les limites de suites sont identiques aux règles de calculs des limites de fonctions.
Pour les quotients, on a :
Les formes indéterminées sont : \((+\infty)+(-\infty)\) et \(\infty \times 0\), \(\dfrac{\infty}{\infty}\), \(\dfrac{0}{0}\). Lorsque l'on rencontre une forme indéterminée, cela signifie seulement que les règles ne permettent pas de conclure ; il faudra étudier autrement la limite. On utilisera la notion suivante :
Soit \((u_n)_n\) et \((v_n)_n\) deux suites avec \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(v_n \neq 0\).
On dit que les suites \((u_n)_n\) et \((v_n)_n\) sont équivalentes et on note \(u_n \sim v_n\) ssi \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \frac{u_n}{v_n} = 1\)
On dit que \((u_n)_n\) est négligeable devant \((v_n)_n\) ssi \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \frac{u_n}{v_n} = 0\). On note alors \(u_n = o(v_n)\)
Si \(b_n = o(a_n)\) alors \(a_n + b_n \sim a_n\) (pour trouver l'équivalent d'une somme, on garde la partie non négligeable)
Un polynôme est équivalent en \(+\infty\) à son terme de plus haut degré.
Si \(\varepsilon_n \to 0\) alors :
Croissances comparées de référence :
On a : \(\ln(n) = o(n^\alpha)\), \(n^\alpha = o(e^n)\) et \(n^\alpha = o(q^n)\) (avec \(q>1\)) et \(q^n = o(n!)\)
On obtient le tableau ci-dessous, dans lequel chaque suite est négligeable devant une écrite à sa droite :
| Logarithmes | Puissances | Exponentielles \(q^n\), \(q>1\) | Factorielle |
|---|---|---|---|
| \(\sqrt{\ln n}\ \ \ln(n)\ \ (\ln n)^2\) | \(\sqrt{n}\ \ n^2\ \ n^4\) | \(2^n \ \ e^n \ \ 4^n\) | \(n!\) |
Si \(u_n \sim v_n\) avec \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n = L\) (avec \(L\) réel ou infini) alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = L\)
Si \(u_n \sim v_n\) et \(a_n \sim b_n\) alors \(u_n \times a_n \sim v_n \times b_n\) et \(\dfrac{u_n}{a_n} \sim \dfrac{v_n}{b_n}\)
On dit qu'une suite \((u_n)_n\) est croissante ssi \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(u_n \leq u_{n+1}\)
On dit qu'une suite \((u_n)_n\) est décroissante ssi \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} \leq u_n\)
Pour étudier la monotonie d'une suite, on cherche le signe de \(u_{n+1} - u_n\) :
- si \(u_{n+1} - u_n \geq 0\) alors \(u_{n+1} \geq u_n\) donc \(u_n \leq u_{n+1}\) et la suite est croissante
- si \(u_{n+1} - u_n \leq 0\) alors \(u_{n+1} \leq u_n\) et la suite est décroissante
Soit \((u_n)_n\) une suite croissante càd une suite telle que \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(u_n \leq u_{n+1}\)
- ou bien la suite \((u_n)_n\) est majorée. Elle est alors convergente. Dans ce cas, en posant \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = L\), on a \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(u_n \leq L\)
- ou bien la suite \((u_n)_n\) n'est pas majorée alors elle diverge vers \(+\infty\)
Soit \((u_n)_n\) une suite décroissante càd une suite telle que \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} \leq u_n\)
- ou bien la suite \((u_n)_n\) est minorée. Elle est alors convergente. Dans ce cas en posant \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = \ell\), on a : \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(u_n \geq \ell\)
- ou bien la suite \((u_n)_n\) n'est pas minorée alors elle diverge vers \(-\infty\)
- La limite d'une suite, si elle existe, est unique. Ainsi, si \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = L\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = L'\) alors \(L = L'\) (ici \(L\) et \(L'\) réels ou infinis)
- Soit \(f\) une fonction continue sur \(\mathbb{R}\) et \((u_n)_n\) une suite du type \(u_{n+1} = f(u_n)\). Si on sait que la suite \((u_n)_n\) converge vers \(L\) alors on a \(L = f(L)\)
Ceci permet de créer une équation vérifiée par la limite en faisant tendre \(n\) vers \(+\infty\) dans l'égalité permettant de définir la suite (sous réserve d'existence dans \(\mathbb{R}\) de cette limite)
Soient \((u_n)_n\) et \((v_n)_n\) deux suites vérifiant \(\forall n \geq n_0\), \(u_n \leq v_n\) ou \(\forall n \geq n_0\), \(u_n < v_n\)
Si les deux suites convergent alors l'inégalité se transmet à leurs limites en devenant large. Ainsi, si \(\forall n \geq n_0\), \(u_n < v_n\) avec \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = L \in \mathbb{R}\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n = L' \in \mathbb{R}\) alors \(L \leq L'\)
En particulier, si \(\forall n \geq n_0\), \(a < u_n < b\), et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = L \in \mathbb{R}\), alors \(a \leq L \leq b\)
Si \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(u_n > 0\) avec \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = L \in \mathbb{R}\) alors \(L \geq 0\)
Soient \((u_n)_n\) et \((v_n)_n\) deux suites réelles telles que \(\forall n \geq n_0\), \(u_n \leq v_n\)
- Si \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty\) alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n = +\infty\)
- Si \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n = -\infty\) alors \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = -\infty\)
Soient \((u_n)_n\), \((v_n)_n\) et \((w_n)_n\) trois suites réelles telles que \(\forall n \geq n_0\), \(u_n \leq v_n \leq w_n\)
Si les suites \((u_n)_n\) et \((w_n)_n\) convergent et ont la même limite \(L \in \mathbb{R}\) alors la suite \((v_n)_n\) converge et sa limite est égale à \(L\)
Soit \((u_n)_n\) une suite réelle et soit \(L\) réel ou infini. On a l'équivalence :
En particulier : si \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_{2n} \neq \lim_{n\to+\infty} u_{2n+1}\) alors \((u_n)_n\) n'a pas de limite.
Cette proposition dit donc que :
Ainsi, si \((u_{2n})_n\) et \((u_{2n+1})_n\) ont des comportements différents, la suite \((u_n)_n\) n'a pas de limite.
On dit que deux suites \((u_n)_n\) et \((v_n)_n\) sont adjacentes ssi
Soit \((u_n)_n\) et \((v_n)_n\) deux suites adjacentes avec \((u_n)_n\) croissante et \((v_n)_n\) décroissante alors ces deux suites convergent et ont la même limite. Ainsi, on a \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = \lim_{n\to+\infty} v_n\)