Dans ce paragraphe, \(f\) est une fonction définie sur un \(I\) de \(\mathbb{R}\) contenant \(a\) réel ou infini. On définit ici de manière théorique le fait que \(f(x)\) tend vers \(L\) (\(L\) réel ou infini) quand \(x\) tend vers \(a\) (\(a\) réel ou infini).
On appelle voisinage ouvert de \(a\) tout intervalle ouvert contenant \(a\) et contenu dans \(I\) :
On dit que \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = 0\) ssi \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists V\) voisinage ouvert de \(a\) tel que \(\forall x \in V,\ |f(x)| < \varepsilon\)
On dit que \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = +\infty\) ssi \(\forall A > 0,\ \exists V\) voisinage ouvert de \(a\) tel que \(\forall x \in V,\ f(x) > A\)
On dit que \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = -\infty\) ssi \(\forall B < 0,\ \exists V\) voisinage ouvert de \(a\) tel que \(\forall x \in V,\ f(x) < B\)
On a l'équivalence :
On dit que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = 0\) ssi \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists N\) tel que \(\forall n \geq N,\ |u_n| < \varepsilon\)
On dit que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty\) ssi \(\forall A > 0,\ \exists N\) tel que \(\forall n \geq N,\ u_n > A\)
On dit que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = -\infty\) ssi \(\forall B < 0,\ \exists N\) tel que \(\forall n \geq N,\ u_n < B\)
Soit \(A\) une partie non vide de \(\mathbb{R}\).
- On suppose que \(A\) est majorée c'est-à-dire on suppose que \(\exists M \in \mathbb{R}\) tel que \(\forall x \in A,\ x \leq M\). Dans ce cas, la partie \(A\) admet un plus petit majorant, qu'on appelle la borne supérieure de \(A\) et qu'on note \(\sup(A)\)
- On suppose que \(A\) est minorée c'est-à-dire on suppose que \(\exists m \in \mathbb{R}\) tel que \(\forall x \in A,\ x \geq m\). Dans ce cas, la partie \(A\) admet un plus grand minorant, qu'on appelle la borne inférieure de \(A\) et qu'on note \(\inf(A)\)
Une partie qui admet un majorant \(M\) admet une infinité de majorants (par exemple, tous les \(M+a\), \(a > 0\)). La borne supérieure est le plus petit de tous les majorants. On a donc l'équivalence :
De même, une partie qui admet un minorant \(m\) admet une infinité de minorants (par exemple, tous les \(m-a\), \(a>0\)). La borne inférieure est le plus grand de tous les minorants. On a l'équivalence :
- Si \((u_n)_n\) est une suite croissante et si \((u_n)_n\) est majorée alors elle converge et, en posant \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = L\), on a \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(u_n \leq L\). Si \((u_n)_n\) n'est pas majorée, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty\)
- Si \((u_n)_n\) est une suite décroissante et si \((u_n)_n\) est minorée alors elle converge et, en posant \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = L\), on a \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(u_n \geq L\). Si \((u_n)_n\) n'est pas minorée, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = -\infty\)
i) On suppose que \(f\) est définie et croissante sur \(]a,b[\). On a alors :
- en tout point \(x_0 \in ]a,b[\), \(f\) admet une limite à gauche et une limite à droite et on a : \(\displaystyle\lim_{t\to x_0^-} f(t) \leq f(x_0) \leq \lim_{t\to x_0^+} f(t)\)
- si \(f\) est majorée sur \(I\) alors \(\displaystyle\lim_{t\to b^-} f(t)\) existe et est finie et \(\forall x \in I,\ f(x) \leq \lim_{t\to b^-} f(t)\). Sinon, \(f\) n'est pas majorée sur \(I\) et on a \(\displaystyle\lim_{t\to b^-} f(t) = +\infty\)
- si \(f\) est minorée sur \(I\) alors \(\displaystyle\lim_{t\to a^+} f(t)\) existe et est finie et \(\forall x \in I,\ f(x) \geq \lim_{t\to a^+} f(t)\). Sinon, \(f\) n'est pas minorée sur \(I\) et on a \(\displaystyle\lim_{t\to a^+} f(t) = -\infty\)
ii) On suppose que \(f\) est définie et décroissante sur \(]a,b[\). Les résultats analogues sont vrais (avec les inégalités inversées).
Une application \(f : E \to F\) est bijective ssi pour tout \(y\) de \(F\) l'équation \(f(x) = y\) admet une unique solution dans \(E\). Lorsque \(f\) est une fonction définie et continue sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\), on a le théorème suivant :
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \(I\) alors \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(J = f(I) = \{f(t)\ \text{avec}\ t \in I\}\)
Ainsi, \(\forall y \in J,\ \exists! x \in I\) tq \(y = f(x)\)
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \(I\) alors \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(J = f(I)\). Ainsi, \(\forall y \in J,\ \exists! x \in I\) tel que \(y = f(x)\). Cet unique élément se note \(f^{-1}(y)\)
- La fonction \(y \mapsto f^{-1}(y)\) s'appelle fonction réciproque de \(f\) et se note \(f^{-1}\)
- La fonction \(f^{-1}\) est continue et strictement monotone sur \(J\) et \(f^{-1}\) a le même sens de variation que \(f\)
- \(C_{f^{-1}}\) se déduit de \(C_f\) par symétrie (orthogonale) par rapport à la droite \(\Delta : y = x\)
- Dérivabilité de \(f^{-1}\) : Si \(f\) dérivable sur \(I\) avec \(\forall x \in I,\ f'(x) \neq 0\) alors \(f^{-1}\) est dérivable sur \(J\) et on a :
c'est-à-dire \(\ (f^{-1})' = \dfrac{1}{f' \circ f^{-1}}\)
Si \(f\) est continue sur un intervalle fermé \([a,b]\) (avec \(a,b\) réels tels que \(a \leq b\)) alors \(f\) est bornée sur \([a,b]\) et atteint ses bornes.
Ainsi, il existe \((\alpha,\beta) \in [a,b]^2\) tels que \(\forall t \in [a,b],\ f(\alpha) \leq f(t) \leq f(\beta)\) avec \(f(\alpha) = \inf\{f(t),\ \text{pour}\ t \in [a,b]\}\) et \(f(\beta) = \sup\{f(t),\ \text{pour}\ t \in [a,b]\}\)
En pratique, on utilise ce théorème sous l'une des deux formes suivantes :
- Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) alors \(\exists B \geq 0\) tel que \(\forall t \in [a,b],\ |f(t)| \leq B\)
- ou bien : Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) alors il existe \((m,M)\) tels que \(\forall t \in [a,b],\ m \leq f(t) \leq M\)
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et soient \(a,b,c,d\) des réels de \(I\). On dit que \(f\) admet :
- un maximum global en \(a\) ssi \(\forall x \in I,\ f(x) \leq f(a)\)
- un maximum local en \(b\) ssi il existe un voisinage \(V_b\) de \(b\) tel que \(\forall x \in V_b \cap I,\ f(x) \leq f(b)\)
- un minimum global en \(c\) ssi \(\forall x \in I,\ f(c) \leq f(x)\)
- un minimum local en \(d\) ssi il existe un voisinage \(V_d\) de \(d\) tel que \(\forall x \in V_d \cap I,\ f(d) \leq f(x)\)
Soit \(f\) définie sur \(]a,b[\). Soit \(x_0 \in ]a,b[\) avec \(f\) dérivable en \(x_0\).
Si \(x_0\) est un extremum local de \(f\), alors \(f'(x_0) = 0\)
Dans tout ce paragraphe, \(f\) est une fonction définie sur \([a,b]\) avec \(a,b\) réels et \(a < b\).
Si \(f\) est telle que \(f\) est continue sur le fermé \([a,b]\), \(f\) est dérivable sur l'ouvert \(]a,b[\) et \(f(a) = f(b)\), alors il existe \(c \in ]a,b[\) tel que \(f'(c) = 0\)
Si \(f\) est telle que \(f\) est continue sur le fermé \([a,b]\) et \(f\) est dérivable sur l'ouvert \(]a,b[\), alors il existe \(c \in ]a,b[\) tel que
Soit \(f\) dérivable un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\). On suppose que \(f'\) est bornée sur \(I\) càd \(\exists M \geq 0\) tq \(\forall t \in I,\ |f'(t)| \leq M\)
Alors \(\forall (x,y) \in I^2,\quad |f(x) - f(y)| \leq M|x-y|\)
Soit \(f\) une fonction de classe \(C^1\) sur \(I \setminus \{a\}\) (avec \(I\) intervalle et \(a \in I\))
Si \(f\) est continue en \(a\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a} f'(x) = L \in \mathbb{R}\), alors \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(I\) et \(f'(a) = L\)
Soit \(f\) définie et dérivable sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\)
- \(f\) est constante sur \(I\) \(\iff\) \(\forall x \in I,\ f'(x) = 0\)
- \(f\) est croissante (resp. décroissante) sur \(I\) \(\iff\) \(\forall x \in I,\ f'(x) \geq 0\) (resp. \(f'(x) \leq 0\))
- Si \(\forall x \in I,\ f'(x) \geq 0\) (resp. \(f'(x) \leq 0\)) et si \(f'\) ne s'annule qu'en au plus un nombre fini de points, alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\) (resp. strictement décroissante sur \(I\))
Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et soit \(f\) définie sur \(I\).
- On dit que \(f\) est de classe \(C^p\) sur \(I\) ssi \(f\) est \(p\) fois dérivable et si la dérivée \(p\)-ième notée \(f^{(p)}\) est continue sur \(I\). L'ensemble des fonctions \(C^p\) sur \(I\) se note \(C^p(I)\)
- On dit que \(f\) est de classe \(C^\infty\) sur \(I\) ssi \(f\) admet une dérivée à n'importe quel ordre \(p \in \mathbb{N}\). L'ensemble des fonctions \(C^\infty\) sur \(I\) se note \(C^\infty(I)\)
Si \(f\) est \(C^\infty\) sur \(I\), alors \(f\) est \(C^p\) sur \(I\) pour \(p \in \mathbb{N}\).
Toutes les fonctions usuelles sont \(C^\infty\) sur l'ensemble sur lequel elles sont dérivables.
Soient \(f\) et \(g\) définies et de classe \(C^p\) sur \(I\) intervalle de \(\mathbb{R}\) (resp. \(C^\infty\))
- \(f+g\), \(f \times g\) sont de classe \(C^p\) sur \(I\) (resp. \(C^\infty\))
- \(\forall \lambda \in \mathbb{R},\ \lambda f\) est de classe \(C^p\) sur \(I\) (resp. \(C^\infty\))
- Si \(\forall x \in I,\ g(x) \neq 0\) alors \(\dfrac{f}{g}\) est de classe \(C^p\) sur \(I\) (resp. \(C^\infty\))
- La composée de fonctions \(C^p\) (resp. \(C^\infty\)) est une fonction \(C^p\) (resp. \(C^\infty\))
Soit \(I\) intervalle de \(\mathbb{R}\), \(p \in \mathbb{N}^*\), \(f\) et \(g\) deux fonctions \(p\) fois dérivables sur \(I\)
- \((f+g)^{(p)} = f^{(p)} + g^{(p)}\) et \(\forall \lambda \in \mathbb{R},\ (\lambda f)^{(p)} = \lambda f^{(p)}\)
- La dérivée \(p\)-ième de \(f \times g\) s'obtient par la formule de Leibniz :
Soit \(n \in \mathbb{N}^*\) et soit \(f\) une fonction de classe \(C^\infty\) sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et soit \(a \in I\).
On dit qu'on applique la formule de Taylor avec reste intégral à \(f\) en \(a\) à l'ordre \(n\)
Soit \(f\) une fonction de classe \(C^\infty\) sur \(\mathbb{R}\) (ou sur un intervalle ouvert contenant 0). On a :
avec \(\displaystyle R_n(x) = \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\,dt\)
Soit \(P \in \mathbb{R}_n[x]\) et soit \(a \in \mathbb{R}\). La décomposition de \(P\) sur la base \(\big(1, (x-a), (x-a)^2, \ldots, (x-a)^n\big)\) de \(\mathbb{R}_n[x]\) est donnée par :
Dans tout ce paragraphe, \(n \in \mathbb{N}^*\), \(f\) une fonction de classe \(C^{n+1}\) sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et \(a \in I\). On note \(RI_n\) le reste intégral de la formule de Taylor. Ainsi \(\displaystyle RI_n = \int_a^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\,dt\)
On a : \(RI_n = o\big[(x-a)^n\big]\) càd \(\displaystyle\lim_{x\to a} \frac{RI_n}{(x-a)^n} = 0\)
Cette formule permet de créer des \(DL_n\). On a, notamment, pour \(x\) proche de 0 :
c'est le \(DL_n(0)\) de \(f\)
Pour tout \(x \in I\), il existe \(c\) compris entre \(a\) et \(x\) tel que \(RI_n = \dfrac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\)
On a donc : \(\forall x \in I,\ \exists c \in I\) tel que
Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et soit \(f \in C^{n+1}(I)\)
- On suppose qu'il existe \((m,r) \in \mathbb{R}^2\) tq \(\forall t \in I,\ m \leq f^{(n+1)}(t) \leq r\), alors \(\forall (a,b) \in I^2\) avec \(a < b\) on a :
- On suppose qu'il existe \(M \geq 0\) tel que \(\forall t \in I,\ |f^{(n+1)}(t)| \leq M\), alors \(\forall (a,b) \in I^2\) on a :
Soit \(f\) continue sur \([0,1]\). On appelle somme de Riemann l'une des sommes suivantes :
Si \(f\) continue sur le segment \([0,1]\) alors la suite des sommes de Riemann converge vers \(\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt\). Ainsi :