Couples de variables aléatoires

Dans ce chapitre \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) est un espace probabilisé, \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires discrètes.

1 — Loi d'un couple

Définition 1Loi conjointe

On appelle loi du couple \((X,Y)\), appelée aussi loi conjointe, la donnée de :

\[X(\Omega)\ ,\ Y(\Omega)\ ,\quad \forall i \in X(\Omega),\ \forall j \in Y(\Omega),\quad \mathbb{P}\big[(X=i)\cap(Y=j)\big] = \mathbb{P}(X=i,Y=j)\]

Proposition 1

Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires discrètes, alors

\[\sum_{i\in X(\Omega)}\ \sum_{j\in Y(\Omega)} \mathbb{P}(X=i \cap Y=j) = 1\]

Ceci permet de vérifier qu'on ne s'est pas trompé en cherchant la loi du couple. Si \((p_{i,j})_{(i,j)\in I\times J}\) est une famille de réels positifs avec \(\displaystyle\sum_{(i,j)\in I\times J} p_{i,j}=1\), alors il existe deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) telles que \(X(\Omega)=I\), \(Y(\Omega)=J\) et \(\mathbb{P}((X=i)\cap(Y=j))=p_{i,j}\).

2 — Lois marginales, lois conditionnelles

Définition 2Lois marginales

La loi de \(X\) et la loi de \(Y\) sont appelées lois marginales du couple \((X,Y)\).

Proposition 2

On a les formules suivantes :

\(\displaystyle \forall k \in X(\Omega),\quad \mathbb{P}(X=k) = \sum_{j\in Y(\Omega)} \mathbb{P}\big[(X=k)\cap(Y=j)\big]\)
\(\displaystyle \forall k \in Y(\Omega),\quad \mathbb{P}(Y=k) = \sum_{i\in X(\Omega)} \mathbb{P}\big[(X=i)\cap(Y=k)\big]\)

Démonstration

Utiliser la formule des probabilités totales car \(\{(Y=j)\}_{j\in Y(\Omega)}\) est un système complet d'événements.

Les formules précédentes permettent de trouver les lois de \(X\) et \(Y\) à partir de la loi de \((X,Y)\) (et c'est parfois plus simple qu'une recherche directe de chacune). Lorsque \(X(\Omega)\) et \(Y(\Omega)\) sont finis, on peut mettre la loi de \((X,Y)\) dans un tableau. On retrouve alors les lois de \(X\) et de \(Y\) dans les marges de ce tableau, d'où le nom de lois marginales.

Définition 3Loi conditionnelle

Soit \(j_0 \in Y(\Omega)\) tel que \(\mathbb{P}(Y=j_0)\neq 0\). On appelle loi conditionnelle de \(X\) sachant \((Y=j_0)\) réalisé la loi de la variable aléatoire \(Z\) notée \(Z=X_{|(Y=j_0)}\) définie par :

\[Z(\Omega) = X(\Omega)\quad\text{et}\quad \forall i \in X(\Omega),\quad \mathbb{P}(Z=i) = \mathbb{P}_{(Y=j_0)}(X=i) = \frac{\mathbb{P}\big[(X=i)\cap(Y=j_0)\big]}{\mathbb{P}(Y=j_0)}\]

On définirait de même, pour \(i_0 \in X(\Omega)\) tel que \(\mathbb{P}(X=i_0)\neq 0\), la variable \(T=Y_{|(X=i_0)}\) en posant : \(\displaystyle\forall j \in Y(\Omega),\ \mathbb{P}(T=j) = \mathbb{P}_{(X=i_0)}(Y=j) = \frac{\mathbb{P}[(X=i_0)\cap(Y=j)]}{\mathbb{P}(X=i_0)}\)

3 — Indépendance de deux variables aléatoires

Définition 4Indépendance

Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires. On dit que \(X\) et \(Y\) sont indépendantes ssi

\[\forall (i,j) \in X(\Omega)\times Y(\Omega), \quad \mathbb{P}\big[(X=i)\cap(Y=j)\big] = \mathbb{P}(X=i)\times\mathbb{P}(Y=j)\]

Ainsi \(X\) et \(Y\) sont indépendantes ssi \(\forall (i,j)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)\) les événements \((X=i)\) et \((Y=j)\) sont indépendants.

Il existe des situations où l'on peut affirmer sans calcul que deux variables aléatoires sont indépendantes. Par exemple : on lance deux fois un dé et les variables aléatoires désignent les numéros obtenus à chacun des lancers ; ou on réalise deux tirages avec remise dans une urne et les variables aléatoires sont les numéros obtenus.

Variables du type Z = φ(X,Y)

1 — Cas de la somme

Proposition 1

Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires discrètes. On pose \(Z=X+Y\). La loi de \(Z=X+Y\) est donnée par :

\[\forall k \in Z(\Omega),\quad \mathbb{P}(Z=k) = \sum_{\substack{i\in X(\Omega) \\ \text{et } k-i \in Y(\Omega)}} \mathbb{P}\big[(X=i)\cap(Y=k-i)\big]\]

Démonstration

C'est la formule des probabilités totales car \(\{(X=i)\}_{i\in X(\Omega)}\) est un système complet d'événements.

Pour déterminer la loi d'une somme, il faut donc connaître celle du couple. On aurait aussi pu écrire une formule avec le système complet d'événements \(\{(Y=j)\}_{j\in Y(\Omega)}\). Lorsqu'on utilise cette formule, on modifie alors les bornes du \(\Sigma\) en utilisant les conditions : \(i\in X(\Omega)\) et \(k-i\in Y(\Omega)\) (si \(k-i \notin Y(\Omega)\) alors \(\mathbb{P}(Y=k-i)=0\)).

Proposition 2

Théorème de stabilité

Si \(X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)\), \(Y \hookrightarrow \mathcal{P}(\mu)\) avec \(X\) et \(Y\) indépendantes, alors \(X+Y \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda+\mu)\).

Si \(X \hookrightarrow \mathcal{B}(n,p)\), \(Y \hookrightarrow \mathcal{B}(m,p)\) avec \(X\) et \(Y\) indépendantes, alors \(X+Y \hookrightarrow \mathcal{B}(n+m,p)\).

2 — Cas général Z = φ(X,Y) avec φ quelconque

Définition 1

Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires et \(\varphi : X(\Omega)\times Y(\Omega) \to \mathbb{R}\) une fonction. On pose \(Z=\varphi(X,Y)\). \(Z\) est une variable aléatoire dont la loi est donnée par :

\[Z(\Omega) = \{\varphi(i,j)\ \text{où}\ i\in X(\Omega),\ j\in Y(\Omega)\}\]

\[\forall k \in Z(\Omega),\quad \mathbb{P}(Z=k) = \sum_{i\in X(\Omega)} \mathbb{P}\big[(X=i)\cap(Z=k)\big] = \sum_{j\in Y(\Omega)} \mathbb{P}\big[(Y=j)\cap(Z=k)\big]\]

On a déjà vu le cas de \(\varphi(X,Y)=X+Y\). Pour appliquer cette formule, on exprime \((X=i,Z=k)\) à l'aide du couple \((X,Y)\).

3 — Espérance de φ(X,Y)

Proposition 3

Théorème de transfert

Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires discrètes et \(\varphi : X(\Omega)\times Y(\Omega) \to \mathbb{R}\) une fonction.

\(Z=\varphi(X,Y)\) admet une espérance si et seulement si \(\displaystyle\sum_{(i,j)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)} |\varphi(i,j)|\, \mathbb{P}\big[(X=i)\cap(Y=j)\big]\) converge.

Dans ce cas on a :

\[\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}[\varphi(X,Y)] = \sum_{(i,j)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)} \varphi(i,j)\, \mathbb{P}\big[(X=i)\cap(Y=j)\big]\]

La formule précédente permet de calculer \(\mathbb{E}(\varphi(X,Y))\) sans avoir à déterminer la loi de \(\varphi(X,Y)\). C'est l'analogue pour les couples de variables du théorème de transfert calculant \(E[\varphi(X)]\). Lorsque \(X(\Omega)\) et \(Y(\Omega)\) sont finis, pas de problème d'existence.

En particulier, sous réserve de convergence, on a :

\(\displaystyle \mathbb{E}(X+Y) = \sum_{(i,j)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)} (i+j)\, \mathbb{P}\big[(X=i)\cap(Y=j)\big]\)

\(\displaystyle \mathbb{E}(XY) = \sum_{(i,j)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)} ij\, \mathbb{P}\big[(X=i)\cap(Y=j)\big]\)

\(\displaystyle \mathbb{E}[\min(X,Y)] = \sum_{(i,j)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)} \min(i,j)\, \mathbb{P}\big[(X=i)\cap(Y=j)\big]\)

Proposition 4

Linéarité de l'espérance

Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires discrètes telles que \(\mathbb{E}(X)\) et \(\mathbb{E}(Y)\) existent. Soit \((a,b)\in\mathbb{R}^2\), alors \(Z=aX+bY\) admet une espérance et \(\mathbb{E}(aX+bY) = a\,\mathbb{E}(X) + b\,\mathbb{E}(Y)\).
Soient \(X_1,\dots,X_n\) des variables aléatoires discrètes telles que \(\forall i \in \llbracket 1,n\rrbracket\), \(\mathbb{E}(X_i)\) existe. Pour tous réels \((a_1,\dots,a_n)\), on a : \(\displaystyle\mathbb{E}\Big(\sum_{i=1}^n a_i X_i\Big)\) existe et \(\displaystyle\mathbb{E}\Big(\sum_{i=1}^n a_i X_i\Big) = \sum_{i=1}^n a_i\,\mathbb{E}(X_i)\)

Proposition 5

Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires telles que \(\mathbb{E}(X)\), \(\mathbb{E}(Y)\) et \(\mathbb{E}(XY)\) existent.

Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes alors \(\mathbb{E}(XY) = \mathbb{E}(X)\,\mathbb{E}(Y)\).

Démonstration

Utiliser le théorème de transfert et l'indépendance de \(X\) et \(Y\).

Cette propriété est fausse si \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes !