Soit \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\). Il existe une unique application linéaire \(f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^p,\mathbb{R}^n)\) telle que \(A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{C},\mathcal{B}}(f)\) (où \(\mathcal{B}\) = base canonique de \(E=\mathbb{R}^p\) et \(\mathcal{C}\) = base canonique de \(F=\mathbb{R}^n\)).
\(f\) est définie par : \(\forall i \in \llbracket 1,p\rrbracket,\ \mathrm{Coord}_{\mathcal{C}}\big[f(\vec{b_i})\big] = K_i\) (\(=\) \(i\)-ème colonne de \(A\)). On dit que \(f\) est l'application linéaire associée à \(A\).
La colonne \(Y_{\mathcal{C}}\) des coordonnées de \(\vec{v}=f(\vec{u})\) dans la base \(\mathcal{C}\) de \(F\) s'obtient par le calcul :
Soit \(\mathcal{B}=\{\vec{b_1},\vec{b_2},\dots,\vec{b_n}\}\) et \(\mathcal{C}=\{\vec{c_1},\vec{c_2},\dots,\vec{c_n}\}\) deux bases de \(E\).
On appelle matrice de passage de la base \(\mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{C}\) la matrice, notée \(P_{\mathcal{B},\mathcal{C}}\), qui donne les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base \(\mathcal{C}\) dans l'ancienne base \(\mathcal{B}\). On a donc :
Soit \(\mathcal{B}=\{\vec{b_1},\vec{b_2},\dots,\vec{b_n}\}\) et \(\mathcal{C}=\{\vec{c_1},\vec{c_2},\dots,\vec{c_n}\}\) deux bases de \(E\).
La matrice de passage \(P_{\mathcal{B},\mathcal{C}}\) est inversible et on a \(\big(P_{\mathcal{B},\mathcal{C}}\big)^{-1} = P_{\mathcal{C},\mathcal{B}}\).
Soit \(\mathcal{B}=\{\vec{b_1},\dots,\vec{b_n}\}\) et \(\mathcal{C}=\{\vec{c_1},\dots,\vec{c_n}\}\) deux bases de \(E\). Soit \(\vec{u}\) un vecteur de \(E\).
\(\vec{u}\) se décompose sur \(\mathcal{B}\) par \(\vec{u}=\sum_{i=1}^n x_i \vec{b_i}\) et sur \(\mathcal{C}\) par \(\vec{u}=\sum_{i=1}^n y_i \vec{c_i}\).
On pose \(X_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n\end{pmatrix}\) et \(X_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\ \vdots\\y_n\end{pmatrix}\). Alors on a :
Soit \(E,F\) deux \(\mathbb{R}\)-ev de dimension finie avec \(\mathcal{B}\) base de \(E\) et \(\mathcal{C}\) base de \(F\).
Soient \(f\) et \(g\) deux applications linéaires. On note \(A\) la matrice de \(f\) et \(M\) la matrice de \(g\).
L'application composée \(g\circ f\) est définie par : \(\forall \vec{u}\in E,\ (g\circ f)(\vec{u}) = g\big[f(\vec{u})\big]\)
D'où la formule :
Ainsi, pour \(f\) et \(g\) deux endomorphismes d'un ev \(E\) muni d'une base \(\mathcal{B}\), on a : \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(g\circ f) = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(g)\times \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)\)
Pour \(f\in\mathcal{L}(E,F)\) et \(g\in\mathcal{L}(F,G)\), avec \(\mathcal{B}_E\) base de \(E\), \(\mathcal{B}_F\) base de \(F\) et \(\mathcal{B}_G\) base de \(G\), la formule devient :
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-ev de dimension finie et \(\mathcal{B}\) une base de \(E\). Soit \(f \in \mathcal{L}(E)\).
On pose \(f^0 = \mathrm{Id}_E\) et \(\forall n\in\mathbb{N}^*,\ f^n = f\circ f\circ \dots \circ f\) (\(n\) fois).
Si \(A=\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f)\) alors on a : \(\forall n \in \mathbb{N},\ \mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(f^n) = A^n\)
Soit \(E\) et \(F\) deux \(\mathbb{R}\)-ev avec \(\dim(E)=\dim(F)=n\) et soit \(f\in\mathcal{L}(E,F)\).
Soit \(\mathcal{B}\) une base de \(E\) et \(\mathcal{C}\) une base de \(F\). Alors on a :
Dans ce cas, on a : \(\big(\mathrm{Mat}_{\mathcal{C},\mathcal{B}}(f)\big)^{-1} = \mathrm{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(f^{-1})\)
- Montrer que \(AX=0 \iff X=0\)
- Montrer que \(\mathrm{rang}(A) = n = \) taille de la matrice
- Trouver \(B\) tel que \(A\times B = B\times A = I_n\)
(il faut avoir \(\dim(E)=\dim(F)\))
- Écrire une matrice de \(f\) et montrer qu'elle est inversible.
- Déterminer \(\ker f\) ou \(\mathrm{Im}f\) et utiliser le théorème du rang.
- Montrer que \(f\) transforme une base de \(E\) en base de \(F\).
- Trouver \(g\) tel que \(f\circ g = \mathrm{Id}\) ou \(g\circ f = \mathrm{Id}\).
Nous venons de voir que tout endomorphisme de \(E\) est représenté par une matrice et que toute opération sur les matrices correspond à une opération sur les éléments de \(\mathcal{L}(E)\). Les règles de calculs dans \(\mathbb{R}\) se généralisent à \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et à \(\mathcal{L}(E)\). Ainsi :
Soit \(E\) un espace vectoriel, \(f,g,h\) des endomorphismes de \(E\) et \(\alpha,\beta\) des réels.
- \((\alpha f + \beta g)\circ h = \alpha (f\circ h) + \beta (g\circ h)\) et \(h\circ(\alpha f + \beta g) = \alpha (h\circ f) + \beta (h \circ g)\)
- \(f\circ \mathrm{Id}_E = \mathrm{Id}_E \circ f = f\)
- Si \(f\circ g = g\circ f\), alors pour tout \(n\in\mathbb{N}\) :
\(= g^n + nf\circ g^{n-1} + \binom{n}{2}f^2\circ g^{n-2}+\dots+\binom{n}{n-2}f^{n-2}\circ g^2 + nf^{n-1}\circ g + f^n\)
Soit \(P\in\mathbb{R}[x]\) avec \(P(x)=\alpha_0+\alpha_1 x+\alpha_2 x^2+\dots+\alpha_r x^r\).
Dans ce polynôme, la variable \(x\) peut être remplacée par des objets de différents types :
Pour une matrice \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), on crée une matrice \(P(A)\) par :
On dit que la matrice \(P(A)\) est un polynôme en \(A\).
Pour \(f\in\mathcal{L}(E)\), on crée un endomorphisme, noté \(P(f)\) par :
On dit que l'application \(P(f)\) est un polynôme en \(f\) (ici, le \(\times\) devient \(\circ\)).
\(\forall P \in \mathbb{R}[x]\) on a :
- \(\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), \(A\) et \(P(A)\) commutent (c'est-à-dire \(A\times P(A) = P(A)\times A\))
- \(\forall f \in \mathcal{L}(E)\), \(f\) et \(P(f)\) commutent (c'est-à-dire \(f\circ P(f) = P(f)\circ f\))
Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), soit \(f\in\mathcal{L}(E)\) et soit \(P\in\mathbb{R}[x]\).
On dit que \(P\) est un polynôme annulateur de \(A\) ssi \(P(A)=0_n\)
On dit que \(P\) est un polynôme annulateur de \(f\) ssi \(P(f)=0_{\mathcal{L}(E)}\)
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(F,G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\).
On appelle somme de \(F\) et \(G\) le sous-espace vectoriel, noté \(F+G\), défini par :
Ainsi : \(\vec{u}\in F+G \iff \exists\, \vec{x}_F \in F\) et \(\exists\, \vec{x}_G \in G\) tq \(\vec{u}=\vec{x}_F+\vec{x}_G\)
On dit que \(F\) et \(G\) sont en somme directe ssi \(F\cap G = \{\vec{0}\}\). Dans ce cas, l'espace \(F+G\) se note \(F \oplus G\).
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-ev et \(F,G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\).
Ainsi \(F\oplus G = E\) ssi la somme est directe (c'est-à-dire \(F\cap G = \{\vec{0}\}\)) et elle vaut \(E\) (c'est-à-dire \(\forall \vec{u}\in E,\ \exists\, \vec{x}_F\in F\) et \(\exists\, \vec{x}_G\in G\) tq \(\vec{u}=\vec{x}_F+\vec{x}_G\)).
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-ev de dimension finie et \(F,G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\).
\(F\) et \(G\) sont supplémentaires ssi l'une des équivalences suivantes est vérifiée :
\(F\oplus G = E \iff\) la famille obtenue en réunissant une base \(\mathcal{B}_F\) de \(F\) et une base \(\mathcal{B}_G\) de \(G\) est une base de \(E\)
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-ev, \(\dim E = n\) et soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\).
- Théorème de la base incomplète : Soit \((\vec{e_1},\vec{e_2},\dots,\vec{e_p})\) une famille libre de \(E\) (avec \(p\le n-1\)). Alors il existe \((\vec{u}_{p+1},\vec{u}_{p+2},\dots,\vec{u}_n)\) famille constituée de \(n-p\) vecteurs de \(E\) telle que \((\vec{e_1},\vec{e_2},\dots,\vec{e_p},\vec{u}_{p+1},\vec{u}_{p+2},\dots,\vec{u}_n)\) soit une base de \(E\).
- Existence d'un supplémentaire : Le ss-ev \(F\) admet au moins un supplémentaire \(H\) tel que \(F\oplus H = E\) (un même sous-espace vectoriel peut admettre plusieurs supplémentaires).
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-ev et soit \(f\in\mathcal{L}(E)\). On dit que \(f\) est un projecteur ssi \(f\circ f = f\).
Si \(p\) est un projecteur (c'est-à-dire si \(p\in\mathcal{L}(E)\) avec \(p\circ p = p\)) alors :
- \(\mathrm{Im}\, p = \ker(p-\mathrm{Id}_E)\)
- \(E = \ker p \oplus \mathrm{Im}\, p\) (c'est-à-dire \(\ker p\) et \(\mathrm{Im}\, p\) sont supplémentaires)
- Si \(\mathcal{B}\) est une base obtenue par concaténation des bases de \(\ker(p)\) et \(\mathrm{Im}(p)\), alors \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}}(p)\) est une matrice diagonale dont la diagonale est formée de 0 et de 1.
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-ev et soit \(F,G\) deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de \(E\).
On définit deux applications \(p\) et \(q\) sur \(E\) en posant :
On dit que \(p\) et \(q\) sont les projecteurs associés à la décomposition \(E=F\oplus G\).
On a alors :
- \(p\in\mathcal{L}(E)\) et \(q\in\mathcal{L}(E)\) avec \(p+q=\mathrm{Id}_E\) et \(p\circ p = p\) et \(q\circ q = q\)
- \(G = \ker p = \mathrm{Im}\, q\) et \(F = \mathrm{Im}\, p = \ker q\)
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\) ev. Soit \(f\in\mathcal{L}(E)\).
On dit que \(f\) est une symétrie ssi \(f\circ f = \mathrm{Id}_E\).
Soit \(s\in\mathcal{L}(E)\) une symétrie.
• \(s\) est bijective et \(s^{-1}=s\)
• On pose \(F=\ker(f-\mathrm{Id}_E)\) et \(G=\ker(f+\mathrm{Id}_E)\), on a \(E = F\oplus G\)
• Il existe une base \(\mathcal{C}\) de \(E\) telle que \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{C}}(f)\) est diagonale.