Intégrales sur un intervalle quelconque

I

Nature d'une intégrale impropre

1 — Définition et cas d'impropreté

On a vu que, lorsque \(f\) est continue sur le segment d'intégration \([a,b]\) (avec \(a,b\) réels), alors \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) existe. On va maintenant donner un sens à des écritures du type \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1+t^2}\), \(\displaystyle\int_0^1 \ln t\,dt\), etc., c'est-à-dire des intégrales du type \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) avec \(f\) continue sur l'ouvert \(]a,b[\) avec \(a,b\) quelconques (réels ou infinis).

Dans ce paragraphe, \(a,b\) sont tels que \(-\infty \le a < b \le +\infty\).

Définition 1

Soit \(f\) une fonction continue sur \(]a,b[\). On étudie \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\).

Cas n°1 : Si \(f\) est continue sur \([a,b[\), l'intégrale est impropre en \(b\).

On dit que \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) converge ssi \(\displaystyle\lim_{x\to b}\int_a^x f(t)\,dt\) existe et est finie ; sinon, on dit que \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) diverge.

\[\int_a^b f(t)\,dt = \lim_{x\to b}\int_a^x f(t)\,dt \quad \text{(en cas de convergence)}\]

Cas n°2 : Si \(f\) est continue sur \(]a,b]\), l'intégrale est impropre en \(a\).

On dit que \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) converge ssi \(\displaystyle\lim_{x\to a}\int_x^b f(t)\,dt\) existe et est finie ; sinon, on dit que \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) diverge.

\[\int_a^b f(t)\,dt = \lim_{x\to a}\int_x^b f(t)\,dt \quad \text{(en cas de convergence)}\]

Cas n°3 : Si \(f\) est seulement continue sur l'ouvert \(]a,b[\) (sans qu'on puisse refermer ni en \(a\), ni en \(b\)) l'intégrale est impropre aux deux bornes. On verra plus tard comment étudier les intégrales de ce type.

En présence d'une intégrale, il faut toujours se demander si c'est une intégrale « sans problème » (càd avec \(f\) continue sur le fermé d'intégration) ou non. Une intégrale avec \(+\infty\) ou \(-\infty\) est toujours impropre (et donc toujours à étudier).

2 — Cas faussement impropre

Proposition 1

Cas où \(f\) est prolongeable par continuité : intégrale faussement impropre

Soient \(a,b\) deux réels avec \(a

Si \(f\) est continue en \(a\) et prolongeable par continuité en \(b\) (càd \(f\) continue sur \([a,b[\) avec \(\displaystyle\lim_{t\to b} f(t) = \ell \in \mathbb{R}\)) alors \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) converge (et on dit que l'intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) est faussement impropre en \(b\)).
Si \(f\) est continue en \(b\) et prolongeable par continuité en \(a\) (càd \(f\) continue sur \(]a,b]\) avec \(\displaystyle\lim_{t\to a} f(t) = L \in \mathbb{R}\)) alors \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) converge (et on dit que l'intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) est faussement impropre en \(a\)).

Si \(f\) est continue sur \([a,b[\) avec \(\displaystyle\lim_{t\to b} f(t) = \ell \in \mathbb{R}\), en posant \(g(t) = \begin{cases} f(t) & \text{si } t \in [a,b[ \\ \ell & \text{si } t=b \end{cases}\), \(g\) est continue sur le fermé \([a,b]\), c'est le prolongement par continuité de \(f\) en \(b\) et \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt = \int_a^b g(t)\,dt\).

II

Intégrales impropres de référence

1 — Intégrales de Riemann

Proposition 1

Intégrales de Riemann impropres en \(+\infty\)

Soit \(A>0\) quelconque. L'intégrale \(\displaystyle\int_A^{+\infty} \frac{dt}{t^\alpha}\) converge pour \(\alpha>1\) et diverge pour \(\alpha \le 1\).

Proposition 2

Intégrales de Riemann impropres en 0

Soit \(0 < A\) quelconque. L'intégrale \(\displaystyle\int_0^{A} \frac{dt}{t^\alpha}\) converge pour \(\alpha<1\) et elle diverge pour \(\alpha \ge 1\).

Proposition 3

Intégrales de Riemann impropres en un réel

Pour \(A>a\) fixé, l'intégrale de Riemann impropre en \(a\) : \(\displaystyle\int_a^A \frac{dt}{(t-a)^\alpha}\) converge pour \(\alpha<1\) et diverge pour \(\alpha \ge 1\).
Pour \(A

2 — Exemples à connaître

Proposition 4

Exemples à connaître d'intégrales convergentes

L'intégrale d'une exponentielle : \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t}\,dt\) converge ssi \(\alpha>0\) et \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t}\,dt = \frac{1}{\alpha}\).

L'intégrale du logarithme (impropre en 0) : \(\displaystyle\int_0^1 \ln(t)\,dt\) converge.

III

Propriétés des intégrales impropres

1 — Linéarité et somme

Proposition 1

Soient \(f,g\) des fonctions continues sur \([a,b[\) avec \(-\infty < a < b \le +\infty\).

Soit \(\lambda \in \mathbb{R}^*\). Les intégrales \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) et \(\displaystyle\int_a^b \lambda f(t)\,dt\) sont de même nature. En cas de convergence on a : \(\displaystyle\int_a^b (\lambda f)(t)\,dt = \lambda\left(\int_a^b f(t)\,dt\right)\)
Si \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) converge et \(\displaystyle\int_a^b g(t)\,dt\) converge alors \(\displaystyle\int_a^b (f+g)(t)\,dt\) converge et on a : \(\displaystyle\int_a^b (f+g)(t)\,dt = \int_a^b f(t)\,dt + \int_a^b g(t)\,dt\)
Si \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) converge et \(\displaystyle\int_a^b g(t)\,dt\) diverge alors \(\displaystyle\int_a^b (f+g)(t)\,dt\) diverge.

Ces propriétés restent vraies pour des intégrales impropres en \(a\), avec \(f\) continue sur \(]a,b]\).

2 — Relation de Chasles

Proposition 2

Soit \(f\) continue sur \([a,b[\) et \(c \in ]a,b[\).

Les intégrales \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) et \(\displaystyle\int_c^b f(t)\,dt\) sont de même nature.

En cas de convergence, on a \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt = \int_a^c f(t)\,dt + \int_c^b f(t)\,dt\)

Ainsi la nature d'une intégrale n'est pas modifiée si on change la borne qui ne pose pas de problème.

De même pour \(f\) continue sur \(]a,b]\). La nature est aussi inchangée si les intégrales convergent, les résultats et le sens changent.

3 — Positivité de l'intégrale

Proposition 3

Soit \(f\) continue sur \([a,b[\) telle que \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) converge.

Si \(\forall t \in [a,b[,\ f(t)\ge 0\) (resp. \(f(t)\le 0\)) alors \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt \ge 0\) (resp. \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt \le 0\))
Si \(\forall t \in [a,b[,\ f(t)\ge 0\) (resp. \(f(t)\le 0\)) et si \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt = 0\) alors \(\forall t \in [a,b[,\ f(t)=0\)

Ces propriétés restent vraies pour des intégrales impropres en \(a\), avec \(f\) continue sur \(]a,b]\), tant que les intégrales convergent.

IV

Critères d'étude de la nature d'une intégrale

1 — Cas des fonctions positives

Proposition 1

Critère d'étude par équivalence pour les fonctions positives

Soient \(f,g\) deux fonctions continues et positives sur \([a,b[\) (avec \(a \in \mathbb{R}\) et \(b\) réel ou \(b=+\infty\)). Si \(f \underset{b}{\sim} g\) alors les intégrales \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) et \(\displaystyle\int_a^b g(t)\,dt\) sont de même nature.
Soient \(f,g\) deux fonctions continues et positives sur \(]a,b]\) (avec \(a\) réel ou \(a=-\infty\) et \(b\) réel). Si \(f \underset{a}{\sim} g\) alors les intégrales \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) et \(\displaystyle\int_a^b g(t)\,dt\) sont de même nature.

Ce critère reste vrai pour des fonctions négatives. En cas de convergence, \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt \ne \int_a^b g(t)\,dt\) en général.

Proposition 2

Critère d'étude par négligeabilité

Soient \(f,g\) deux fonctions continues et positives sur \([a,b[\) (avec \(a \in \mathbb{R}\) et \(b\) réel ou \(b=+\infty\)). Si \(f = o(g)\) et si \(\displaystyle\int_a^b g(t)\,dt\) converge alors \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) converge.
Soient \(f,g\) deux fonctions continues et positives sur \(]a,b]\) (avec \(a\) réel ou \(a=-\infty\) et \(b\) réel). Si \(f = o(g)\) et si \(\displaystyle\int_a^b g(t)\,dt\) converge alors \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) converge.

Méthode

Intégrale impropre en \(+\infty\) : étudier \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty} t^2 f(t)\).

Si \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty} t^2 f(t) = 0\) alors \(f(t) = \underset{+\infty}{o}\left(\dfrac{1}{t^2}\right)\) avec \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^2}\,dt\) converge, alors \(\displaystyle\int_1^{+\infty} f(t)\,dt\) converge.

Intégrale impropre en 0 : étudier \(\displaystyle\lim_{t\to 0} \sqrt{t}\,f(t)\).

Si \(\displaystyle\lim_{t\to 0} \sqrt{t}\,f(t) = 0\) alors \(f(t) = \underset{0}{o}\left(\dfrac{1}{\sqrt{t}}\right)\) avec \(\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{t}}\,dt\) converge, alors \(\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt\) converge.

Proposition 3

Critère d'étude par inégalité

Soient \(f,g\) deux fonctions continues et positives sur \([a,b[\) (avec \(a \in \mathbb{R}\) et \(b\) réel ou \(b=+\infty\)). On suppose que \(\forall x \in [a,b[,\ 0 \le f(x) \le g(x)\).

Si \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) diverge alors \(\displaystyle\int_a^b g(t)\,dt\) diverge.
Si \(\displaystyle\int_a^b g(t)\,dt\) converge alors \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) converge et on a : \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt \le \int_a^b g(t)\,dt\)

On a le même type d'énoncé pour des intégrales impropres en \(a\), avec \(f,g\) continues et positives sur \(]a,b]\).

2 — Notion de convergence absolue

Définition 1

Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b[\) (avec \(a \in \mathbb{R}\) et \(b\) réel ou \(b=+\infty\)).

On dit que \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) converge absolument ssi \(\displaystyle\int_a^b |f(t)|\,dt\) converge.

Proposition 4

Convergence absolue entraîne convergence

La convergence absolue entraîne la convergence. Ainsi, si \(\displaystyle\int_a^b |f(t)|\,dt\) converge alors \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) converge.

On utilise la convergence absolue lorsque \(f\) n'est pas de signe constant. Si \(\displaystyle\int_a^b |f(t)|\,dt\) diverge, on ne peut rien dire sur la nature de \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\). On définit aussi la convergence absolue pour les intégrales impropres en \(a\) (avec \(a\) réel ou \(a=-\infty\)).

3 — Intégrale impropre aux deux bornes

Définition 2

Si \(f\) est seulement continue sur l'ouvert \(]a,b[\) (sans qu'on puisse refermer ni en \(a\), ni en \(b\)) alors l'intégrale est impropre aux deux bornes. Dans ce cas :

Si \(\exists c \in ]a,b[\) tel que \(\displaystyle\int_a^c f(t)\,dt\) converge et \(\displaystyle\int_c^b f(t)\,dt\) converge alors \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) converge.

\[\int_a^b f(t)\,dt = \int_a^c f(t)\,dt + \int_c^b f(t)\,dt\]

Dans les autres cas, on dit qu'elle diverge.

4 — Intégration par partie et changement de variable

a) Intégration par partie

Pour faire une intégration par partie, on introduit l'intégrale sur un segment (\([a,x]\) ou \([x,b]\)) puis on fait tendre le « \(x\) » vers la borne impropre.

b) Changement de variable

Pour faire un changement de variable \(x=\varphi(t)\) ou \(t=\varphi(x)\) dans une intégrale impropre, il faut montrer que la fonction \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) et strictement monotone. Ainsi, \(\varphi\) est une bijection croissante (ou décroissante) et \(\mathcal{C}^1\) de \(]\alpha,\beta[\) sur \(]a,b[\) alors les intégrales \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) et \(\displaystyle\int_\alpha^\beta f[\varphi(x)]\,\varphi'(x)\,dx\) sont de même nature.

\[\int_a^b f(t)\,dt = \int_\alpha^\beta f[\varphi(x)]\,\varphi'(x)\,dx \quad \text{(en cas de convergence)}\]

Méthode

On écrit le changement \(t=\varphi(x)\) ou \(x=\varphi(t)\) et on détermine le tableau de variation de \(\varphi\).
On constate que \(\varphi\) est une bijection de \(I\) sur \(J\) à déterminer par le tableau.
On écrit que les intégrales \(\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt\) et \(\displaystyle\int_\alpha^\beta f[\varphi(x)]\,\varphi'(x)\,dx\) sont de même nature.
On détermine la nature de l'une puis on conclut.