Variables aléatoires discrètes

Espaces probabilisés sur un univers infini

1 — Définitions

Définition 1

Soit \(\Omega\) l'univers d'une expérience aléatoire. On note \(\mathcal{A}\) l'ensemble des événements liés à cette expérience. \(\mathcal{A}\) est une famille d'ensembles qui contient \(\Omega\) et qui est stable par complémentaire et par réunion infinie. Ainsi :

\(\Omega \in \mathcal{A}\)
Si \(A \in \mathcal{A}\) alors \(\overline{A} \in \mathcal{A}\)
Si \(\forall n \in \mathbb{N}, A_n \in \mathcal{A}\) alors \(\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n \in \mathcal{A}\)

On appelle probabilité sur \(\Omega\) toute application \(\mathbb{P} : \mathcal{A} \to [0,1]\), \(A \mapsto \mathbb{P}(A)\) telle que :

\(\mathbb{P}(\Omega) = 1\)
Pour toute suite \((A_n)_{n\geq 0}\) d'événements 2 à 2 incompatibles, la série \(\sum \mathbb{P}(A_n)\) converge et \[\mathbb{P}\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\right) = \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(A_n)\]

Le triplet \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) est appelé espace probabilisé.

Si \(\Omega\) est fini alors on prend \(\mathcal{A} = \mathcal{P}(\Omega)\) et la somme du ii) est une somme finie. On retrouve la définition du chapitre précédent.

Proposition 1

Soit \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) un espace probabilisé. On retrouve les propriétés :

\(\forall A \in \mathcal{A}\), \(\mathbb{P}(\overline{A}) = 1 - \mathbb{P}(A)\) et \(\mathbb{P}(\emptyset) = 0\)
\(\forall (A,B) \in \mathcal{A}^2\), \(\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)\) et si \(A \subset B\), \(\mathbb{P}(A) \leq \mathbb{P}(B)\)
Soit \((A_1, A_2, \dots, A_n)\) une famille d'événements 2 à 2 incompatibles tels que \(\forall i \neq j\), \(A_i \cap A_j = \emptyset\). Alors \[\mathbb{P}\left(\bigcup_{k=1}^{n} A_k\right) = \sum_{k=1}^{n} \mathbb{P}(A_k)\]

Définition 2Variable aléatoire discrète

Soit \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) un espace probabilisé. On dit qu'une application \(X : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}\) est une variable aléatoire discrète lorsque :

\(X(\Omega)\) est un ensemble fini ou dénombrable, c'est-à-dire \(X(\Omega) = \{u_0, \dots, u_n\}\) ou \(X(\Omega) = \{(u_k)_{k\in\mathbb{N}}\}\)
\(\forall i \in \mathbb{N}\), \((X = u_i)\) est un événement.

Déterminer la loi de \(X\), c'est préciser \(X(\Omega)\) puis calculer, pour tout \(k \in X(\Omega)\), \(\mathbb{P}(X=k)\)

2 — Système complet d'événements, formule des probabilités totales

Définition 3Système complet d'événements

Soit \(\mathcal{E}\) une expérience aléatoire, et \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) un espace probabilisé. On dit que la famille \(\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) est un système complet d'événements (s.c.e.) ssi ils créent une partition de \(\Omega\).

Ainsi, \(\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) est un s.c.e. ssi

\[\forall i \neq j, \quad A_i \cap A_j = \emptyset \qquad \text{et} \qquad \bigcup_{i=0}^{+\infty} A_i = \Omega\]

Une famille d'événements est un s.c.e ssi l'un d'entre eux, et un seul à la fois, est obligatoirement réalisé.

Proposition 2

Soit \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) un espace probabilisé et \(X\) une variable aléatoire discrète.

Si \(\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) est un système complet d'événements alors la série \(\sum \mathbb{P}(A_n)\) converge et \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(A_n) = 1\).
La famille \(\{(X=k)\}_{k\in X(\Omega)}\) est un s.c.e. On a donc \(\displaystyle\sum_{k\in X(\Omega)} \mathbb{P}(X=k) = 1\).

Définition 4

On dit qu'un événement \(A\) est négligeable ssi \(\mathbb{P}(A) = 0\)
On dit qu'un événement \(A\) est presque certain ssi \(\mathbb{P}(A) = 1\)

Proposition 3

Formule des probabilités totales

Soit \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) un espace probabilisé. Si \(\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) est un système complet d'événements alors, pour tout événement \(B\), on a :

\[\mathbb{P}(B) = \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(B \cap A_n) = \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}(A_n)\,\mathbb{P}_{A_n}(B)\]

3 — Probabilité conditionnelle et formule des probabilités composées

Définition 5Probabilité conditionnelle

Soit \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) un espace probabilisé et \(B\) un événement avec \(\mathbb{P}(B) \neq 0\). On appelle probabilité conditionnelle sachant que \(B\) est réalisé la probabilité \(\mathbb{P}_B\) définie sur \(\mathcal{A}\) par :

\[\forall A \in \mathcal{A}, \quad \mathbb{P}_B(A) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)}\]

\(\mathbb{P}_B\) est une probabilité ; cette application possède donc les propriétés d'une probabilité. Ainsi, par exemple, si \(A\) et \(C\) sont des événements incompatibles, \(\mathbb{P}_B(A \cup C) = \mathbb{P}_B(A) + \mathbb{P}_B(C)\)

Proposition 4

Formule des probabilités composées

Soit \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) un espace probabilisé et \(A_1, A_2, \dots, A_n\) des événements (où \(n \in \mathbb{N}\) avec \(n \geq 2\)). On suppose que \(\mathbb{P}(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_{n-1}) \neq 0\). On a :

\[\mathbb{P}(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n) = \mathbb{P}(A_1) \times \mathbb{P}_{A_1}(A_2) \times \mathbb{P}_{A_1\cap A_2}(A_3) \times \dots \times \mathbb{P}_{A_1\cap A_2\cap\dots\cap A_{n-1}}(A_n)\]

4 — Probabilité d'une réunion et d'une intersection infinie

Proposition 5

Cas général

Soit \((A_k)_{k\in I}\) une famille d'événements.

Probabilité d'une réunion infinie d'événements :
\[\mathbb{P}\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\right) = \lim_{N\to+\infty} \mathbb{P}\left(\bigcup_{n=0}^{N} A_n\right)\]
Probabilité d'une intersection infinie :
\[\mathbb{P}\left(\bigcap_{n=0}^{+\infty} A_n\right) = \lim_{N\to+\infty} \mathbb{P}\left(\bigcap_{n=0}^{N} A_n\right)\]

Proposition 6

Cas d'une suite monotone d'événements

Soit \((\Omega, \tau(\Omega), \mathbb{P})\) un espace probabilisé et soit \(\{A_n\}_{n\in\mathbb{N}}\) une suite d'événements.

— Si les événements \((A_n)_{n\in\mathbb{N}}\) forment une suite croissante d'événements (i.e. tq \(\forall n \in \mathbb{N}, A_n \subset A_{n+1}\)) alors :

\[\mathbb{P}\left(\bigcup_{n=0}^{+\infty} A_n\right) = \lim_{N\to+\infty} \mathbb{P}(A_N)\]

— Si les événements \((A_n)_{n\in\mathbb{N}}\) forment une suite décroissante d'événements (i.e. tq \(\forall n \in \mathbb{N}, A_{n+1} \subset A_n\)) alors :

\[\mathbb{P}\left(\bigcap_{n=0}^{+\infty} A_n\right) = \lim_{N\to+\infty} \mathbb{P}(A_N)\]

Moments d'une variable aléatoire discrète

1 — Espérance et lois usuelles

Définition 1

Soit \(X\) une variable aléatoire discrète. On appelle espérance de \(X\) le nombre réel défini (sous réserve d'existence) par :

\[\mathbb{E}(X) = \sum_{k \in X(\Omega)} k\,\mathbb{P}(X=k)\]

Si \(X(\Omega)\) est fini alors \(\mathbb{E}(X)\) existe toujours et \(\mathbb{E}(X)\) est une somme finie. Si \(X(\Omega)\) est infini : \(\mathbb{E}(X)\) existe ssi la série \(\sum |x_k|\,\mathbb{P}(X=x_k)\) converge. Dans ce cas, on a \(\displaystyle\mathbb{E}(X) = \sum_{x_k\in X(\Omega)} x_k\,\mathbb{P}(X=x_k)\)

Définition 2Loi géométrique

On dit que \(X\) suit une loi géométrique de paramètre \(p\) et on note \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) ssi on a :

\[X \hookrightarrow \mathcal{G}(p) \iff X(\Omega) = \mathbb{N}^* \ \text{ et } \ \forall k \in \mathbb{N}^*, \ \mathbb{P}(X=k) = (1-p)^{k-1}p\]

Situation type : \(X\) = temps d'attente du premier succès lorsqu'on répète une même expérience de Bernoulli (proba du succès \(=p\)), les répétitions étant indépendantes.

Définition 3Loi de Poisson

Soit \(\lambda > 0\). On dit que \(X\) suit une loi de Poisson de paramètre \(\lambda\) et on note \(X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)\) ssi on a :

\[X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda) \iff X(\Omega) = \mathbb{N} \ \text{ et } \ \forall k \in \mathbb{N}, \ \mathbb{P}(X=k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}\]

Situation type : pas de situation type.

Proposition 1

Espérance des lois discrètes usuelles

Loi uniforme : si \(X \hookrightarrow \mathcal{U}(\llbracket 1,n\rrbracket)\) alors \(\mathbb{E}(X) = \dfrac{n+1}{2}\)	Loi géométrique : si \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) alors \(\mathbb{E}(X) = \dfrac{1}{p}\)
Loi binomiale : si \(X \hookrightarrow \mathcal{B}(n,p)\) alors \(\mathbb{E}(X) = np\)	Loi de Poisson : si \(X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)\) alors \(\mathbb{E}(X) = \lambda\)

Si \(X \hookrightarrow \mathcal{B}(p)\) alors \(\mathbb{E}(X) = p = 1 \times p\) (la loi de Bernoulli correspond à la loi binomiale \(\mathcal{B}(1,p)\))

2 — Propriétés de l'espérance et théorème de transfert

Proposition 2

Propriétés de l'espérance

Soit \(X\) une variable aléatoire admettant une espérance.

\(\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2\), la variable \(aX+b\) admet une espérance et on a : \(\mathbb{E}(aX+b) = a\,\mathbb{E}(X) + b\)
Soit \(X\) et \(Y\) deux variables admettant des espérances. La variable \(X+Y\) admet une espérance donnée par : \(\mathbb{E}(X+Y) = \mathbb{E}(X) + \mathbb{E}(Y)\)
Si \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires avec \(0 \leq |X| \leq Y\) et \(\mathbb{E}(Y)\) existe, alors \(\mathbb{E}(X)\) existe et \(|\mathbb{E}(X)| \leq \mathbb{E}(Y)\).

Définition 4Variables aléatoires du type \(Y = \varphi(X)\)

Soit \(X\) une variable aléatoire discrète et soit \(\varphi : X(\Omega) \longrightarrow \mathbb{R}\). L'application \(Y = \varphi(X)\) est une variable aléatoire réelle discrète dont la loi est donnée par :

\[Y(\Omega) = \{\varphi(k),\, k \in X(\Omega)\} \qquad \text{et} \qquad \forall n \in Y(\Omega), \ \mathbb{P}(Y=n) = \sum_{\substack{k\in X(\Omega) \\ \varphi(k)=n}} \mathbb{P}(X=k)\]

Proposition 3

Théorème de transfert

Soit \(X\) une variable aléatoire discrète et soit \(\varphi : X(\Omega) \to \mathbb{R}\). La variable \(Y = \varphi(X)\) admet une espérance donnée (sous réserve d'existence) par :

\[\mathbb{E}(Y) = \mathbb{E}[\varphi(X)] = \sum_{k\in X(\Omega)} \varphi(k)\,\mathbb{P}(X=k)\]

En particulier, on a :

\[\mathbb{E}(X^2) = \sum_{k\in X(\Omega)} k^2\,\mathbb{P}(X=k) \qquad \text{et} \qquad \mathbb{E}[X(X-1)] = \sum_{k\in X(\Omega)} k(k-1)\,\mathbb{P}(X=k)\]

Ce théorème permet de transférer la loi de \(X\) au calcul de \(\mathbb{E}(Y)\). Ainsi, on calcule \(\mathbb{E}(Y)\) sans avoir à déterminer la loi de \(Y\). Lorsque \(X(\Omega)\) est fini, la somme définissant l'espérance est finie ; sinon, c'est une somme de série.

3 — Variance

Définition 5Variance d'une variable discrète

Soit \(X\) une variable aléatoire discrète.

On dit que \(X\) admet une variance ssi \(\mathbb{E}(X)\) et \(\mathbb{E}(X^2)\) existent. Dans ce cas, on pose :
\[V(X) = \mathbb{E}(X^2) - [\mathbb{E}(X)]^2 \quad \text{(formule de Kœnig)}\]
On appelle écart-type de \(X\) le nombre \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\)

Pour calculer la variance, il faut donc calculer d'abord \(\mathbb{E}(X)\) et \(\mathbb{E}(X^2)\). Pour les lois usuelles, on obtient \(\mathbb{E}(X^2)\) à partir de \(\mathbb{E}[X(X-1)]\).

Proposition 4

Variance des lois usuelles infinies (à connaître par cœur et à savoir recalculer)

Loi uniforme : si \(X \hookrightarrow \mathcal{U}(\llbracket 1,n\rrbracket)\) alors \(V(X) = \dfrac{n^2-1}{12}\)

Loi binomiale : si \(X \hookrightarrow \mathcal{B}(n,p)\) alors \(V(X) = npq\) avec \(q = (1-p)\)

Loi géométrique : si \(X \hookrightarrow \mathcal{G}(p)\) alors \(V(X) = \dfrac{1-p}{p^2}\)

Loi de Poisson : si \(X \hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda)\) alors \(V(X) = \lambda\)

Proposition 5

Propriété de la variance

Soit \(X\) une variable aléatoire discrète admettant une variance. \(\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2\), la variable \(aX+b\) admet une variance donnée par :

\[V(aX+b) = a^2\,V(X)\]

Définition 6Variable centrée, réduite

\(X\) est une variable centrée ssi \(\mathbb{E}(X) = 0\)
\(X\) est une variable réduite ssi \(V(X) = 1\)

Proposition 6

Soit \(X\) une variable aléatoire discrète admettant une espérance \(\mathbb{E}(X) = m\) et une variance \(V(X) = \sigma^2\).

La var \(X^* = X - m\) est la variable centrée associée à \(X\). On a donc : \(\mathbb{E}(X^*) = \mathbb{E}(X) - m = 0\)
La variable \(Y = \dfrac{1}{\sigma}[X-m]\) est une variable centrée réduite.