Soit \((u_n)_{n \geq n_0}\) une suite (avec \(n_0 \in \mathbb{N}\) fixé. En général, \(n_0 = 0\) ou \(n_0 = 1\)).
On appelle série de terme général \(u_n\), et on note \(\sum u_n\), la suite \((S_n)_n\) définie par :
Pour tout \(n \geq n_0\), la somme finie \(S_n\) s'appelle la somme partielle de la série \(\sum u_n\).
Soit \((u_n)_{n \geq n_0}\) une suite.
- On dit que la série \(\sum u_n\) diverge ssi la suite \((S_n)_n\) diverge : pas de limite finie.
- On dit que la série \(\sum u_n\) converge ssi la suite \((S_n)_n\) converge : limite finie.
Dans ce cas la limite de la suite \((S_n)_n\) s'appelle la somme de la série et se note \(\displaystyle\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n\).
Étudier la nature d'une série, c'est déterminer si elle converge ou si elle diverge. Pour cela, on étudie la limite éventuelle de la suite \((S_n)\) de ses sommes partielles.
- Ne pas confondre les différentes notations : \(\displaystyle\sum u_n\), \(\displaystyle\sum_{n=0}^{p} u_n\) et \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\).
- Intuitivement, \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n = u_0+u_1+u_2+\dots+u_n+u_{n+1}+u_{n+2}+\dots\) jusqu'à l'infini.
- Donc, lorsqu'elle existe, \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\) désigne la somme de tous les termes de la suite \((u_n)_n\) (somme « totale » infinie, à distinguer des sommes « partielles » qui, elles, sont des sommes finies).
- On appelle série de Riemann toute série du type \(\displaystyle\sum \frac{1}{n^\alpha}\) avec \(\alpha \in \mathbb{R}\).
- La série \(\displaystyle\sum \frac{1}{n^\alpha}\) converge pour \(\alpha > 1\) et diverge pour \(\alpha \leq 1\).
On appelle série exponentielle toute série du type \(\displaystyle\sum \frac{x^k}{k!}\) avec \(x \in \mathbb{R}\).
La série exponentielle \(\displaystyle\sum \frac{x^k}{k!}\) converge pour tout réel \(x\) et on a :
- On appelle série géométrique toute série du type \(\displaystyle\sum x^k\) avec \(x \in \mathbb{R}\).
- Si \(|x| < 1\), la série géométrique \(\displaystyle\sum x^k\) converge et \(\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} x^k = \dfrac{1}{1-x}\).
- Si \(|x| \geq 1\), la série géométrique \(\displaystyle\sum x^k\) diverge.
- On appelle dérivées de la série géométrique les séries \(\displaystyle\sum k x^{k-1}\) et \(\displaystyle\sum k(k-1)x^{k-2}\) avec \(x\) réel.
- Si \(|x|<1\) ces séries convergent et on a :
- Si \(|x| \geq 1\), ces séries divergent.
Si la série \(\displaystyle\sum u_n\) converge alors \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0\).
Par conséquent, si \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n \neq 0\), alors la série \(\sum u_n\) diverge.
Soit \((u_n)_n\) et \((v_n)_n\) deux suites.
- Si \(\sum u_n\) converge alors, pour tout \(\lambda \in \mathbb{R}\), la série \(\sum \lambda u_n\) converge et \(\displaystyle\sum_{n=n_0}^{+\infty} (\lambda u_n) = \lambda \left(\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n\right)\).
- Si \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) convergent alors \(\sum (u_n+v_n)\) converge et \(\displaystyle\sum_{n=n_0}^{+\infty} (u_n+v_n) = \left(\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n\right) + \left(\sum_{n=n_0}^{+\infty} v_n\right)\).
Pour prouver que la série \(\sum u_k\) converge et calculer sa somme :
- Écrire la somme finie associée \(\displaystyle S_n = \sum_{k=n_0}^{n} u_k\).
- Transformer \(S_n\) pour faire apparaître les quantités à sommer de sommes de référence (par découpage, changement d'indice, etc.).
- Rectifier si nécessaire les premiers termes (car toutes les sommes de référence commencent à \(k=0\)).
- Justifier la convergence des séries obtenues puis faire tendre \(n\) vers \(+\infty\) dans l'égalité pour conclure.
- Ici, on modifie le terme général \(u_n\) pour faire apparaître le terme général d'une série de référence (par changement d'indice, simplification, mise en facteur, etc.).
- TOUJOURS travailler sur les sommes partielles, puis passer à la limite après avoir justifié la convergence.
Dans tout ce paragraphe, \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) sont deux séries à termes positifs, c'est-à-dire telles que :
(leur terme général est positif, éventuellement seulement à partir d'un certain rang). Les critères de ce paragraphe permettent d'étudier la nature d'une série sans passer par ses sommes partielles ; par contre, ils ne permettent pas d'obtenir la valeur de la somme.
Si \(u_n \sim v_n\) avec \(\forall n \geq n_0\), \(v_n \geq 0\), alors les séries \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) sont de même nature, c'est-à-dire qu'elles sont toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes.
Ce critère demeure vrai si les deux suites sont négatives.
Soit \(\sum u_n\) une série à termes positifs (telle que \(\forall n \geq n_0\), \(u_n \geq 0\)).
Si \(u_n = o(v_n)\) avec \(\sum v_n\) converge alors la série \(\sum u_n\) converge.
En particulier, si \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n^2 u_n = 0\) alors \(u_n = o\left(\dfrac{1}{n^2}\right)\) avec \(\sum \dfrac{1}{n^2}\) converge donc \(\sum u_n\) converge.
On suppose que \(\forall n \geq n_0\), \(0 \leq u_n \leq v_n\).
- Si la série \(\sum v_n\) converge alors la série \(\sum u_n\) converge et on a : \(\displaystyle\sum_{n=n_0}^{+\infty} u_n \leq \sum_{n=n_0}^{+\infty} v_n\).
- Si la série \(\sum u_n\) diverge alors la série \(\sum v_n\) diverge.
- Pour étudier \(\sum u_n\) avec \(u_n \leq 0\), \(n \geq n_0\), on étudie la série \(\sum (-u_n)\).
- Pour écrire des sommes infinies, il faut avoir justifié que toutes les séries convergent.
Pour déterminer la nature d'une série à termes positifs \(\sum u_n\) :
- Chercher un équivalent de \(u_n\) (si \(u_n\) n'est pas déjà une expression simple de série de référence). Si on connaît la nature de la série \(\sum v_n\) obtenue, on peut conclure avec le critère d'étude par équivalence.
- Sinon, appliquer la règle d'étude par négligeabilité ou celle d'étude par comparaison. Pour cela, regarder \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n^2 u_n\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n u_n\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \sqrt{n}\, u_n\), puis si nécessaire, \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} n^\alpha u_n\) avec \(\alpha\) quelconque.
- Si rien ne marche, revenir aux sommes partielles ou suivre le texte...
Soit \((u_n)_n\) une suite quelconque.
On dit que \(\sum u_n\) converge absolument ssi la série \(\sum |u_n|\) converge.
Si \(\sum |u_n|\) converge alors \(\sum u_n\) converge. (La convergence absolue entraîne la convergence.)
- On utilise cette notion lorsqu'on ne connaît pas le signe de \(u_n\) (ou lorsqu'il n'est pas fixe).
- La convergence absolue permet de ramener l'étude d'une série à termes de signe quelconque à celle d'une série à termes positifs (pour laquelle on a des théorèmes).
- Si on trouve que \(\sum |u_n|\) diverge, on ne peut rien dire sur \(\sum u_n\). Il faut suivre une autre piste.