Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels. On appelle application linéaire de \(E\) dans \(F\) toute application \(f : E \to F\) telle que :
L'ensemble des applications linéaires de \(E\) dans \(F\) se note \(\mathcal{L}(E,F)\).
Soit \(f\) une application linéaire de \(E\) dans \(F\). On a :
- \(f(\vec 0_E) = \vec 0_F\)
- \(\forall\,(\vec e_1,\vec e_2,\dots,\vec e_p)\in E^p,\ \forall\,(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_p)\in\mathbb{R}^p\), \[f\Big(\sum_{i=1}^{p}\lambda_i \vec e_i\Big) = \sum_{i=1}^{p}\lambda_i f(\vec e_i)\]
On appelle endomorphisme de \(E\) toute application linéaire de \(E\) dans \(E\). L'ensemble des endomorphismes de \(E\) se note \(\mathcal{L}(E)\).
Pour prouver que \(f\) est un endomorphisme, il faut vérifier deux choses : \(f\) est linéaire et \(f\) est à valeurs dans \(E\) (càd \(\forall\, \vec u \in E,\ f(\vec u) \in E\)).
On appelle isomorphisme de \(E\) dans \(F\) toute application linéaire bijective de \(E\) dans \(F\).
- Soit \(f\in\mathcal{L}(E,F)\), \(g\in\mathcal{L}(E,F)\) et \((\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2\). L'application \(\lambda f + \mu g\) est linéaire. L'ensemble \(\mathcal{L}(E,F)\) est donc un espace vectoriel.
- Soit \(f\in\mathcal{L}(E,F)\) et \(g\in\mathcal{L}(F,G)\) alors \(g\circ f \in \mathcal{L}(E,G)\) (la composée d'applications linéaires est une application linéaire).
- Soit \(f\in\mathcal{L}(E)\), on pose \(f^0 = Id_E\) et \(\forall\, n\in\mathbb{N}^*,\ f^n = f\circ f\circ\dots\circ f\) (\(f\) composée \(n\) fois). Alors, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(f^n\) est une application linéaire, c'est-à-dire \(\forall\, n\in\mathbb{N},\ f^n \in \mathcal{L}(E)\).
- Si \(f\) est une application linéaire de \(E\) dans \(F\) et si \(f\) est une bijection de \(E\) dans \(F\), alors \(f^{-1}\) est une application linéaire de \(F\) dans \(E\).
- Ainsi, si \(f\) est un isomorphisme de \(E\) dans \(F\) alors \(f^{-1}\) est un isomorphisme de \(F\) dans \(E\).
Dans tout ce paragraphe, \(f\) est une application linéaire de \(E\) dans \(F\).
On appelle noyau de \(f\) l'ensemble noté \(\ker f\) défini par :
On a donc : \(\vec u \in \ker f \iff \vec u \in E\) avec \(f(\vec u) = \vec 0_F\).
- On a toujours \(\vec 0_E \in \ker f\) (car \(f\) est une application linéaire donc \(f(\vec 0_E) = \vec 0_F\)).
- \(\ker f\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
Pour déterminer \(\ker f\) ou pour en trouver une base, on procède de la manière suivante :
- Commencer par prendre un vecteur \(\vec u\) quelconque dans \(\ker f\) ; il possède deux propriétés :
- \(\vec u \in E\) donc \(\vec u\) se décompose sur une base de \(E\) ;
- \(f(\vec u) = \vec 0_F\) (ce qui crée des conditions sur les coordonnées de \(\vec u\)).
- Si on arrive à \(\vec u = \vec 0_E\), c'est terminé (on a alors \(\ker f = \{\vec 0_E\}\)). Sinon, on obtient l'allure générale d'un vecteur de \(\ker f\). On en déduit alors une famille génératrice de \(\ker f\). On regarde ensuite si la famille obtenue est libre pour en déduire une base de \(\ker f\).
Dans tout ce paragraphe, \(f\) est une application linéaire de \(E\) dans \(F\).
On appelle image de \(f\) l'ensemble, noté \(\mathrm{Im}\,f\), constitué des images des éléments de \(E\) par \(f\). Ainsi :
\(\mathrm{Im}\,f\) est un sous-espace vectoriel de \(F\).
Si \((\vec e_1,\vec e_2,\dots,\vec e_n)\) est une base de \(E\) alors la famille \(\{f(\vec e_1),f(\vec e_2),\dots,f(\vec e_n)\}\) est une famille génératrice de \(\mathrm{Im}\,f\).
Soit \(E\) et \(F\) deux \(\mathbb{R}\)-ev avec \(\dim(E) = p\), \(\dim(F) = n\) et \(f \in \mathcal{L}(E,F)\). Soit \(\mathcal{B}_E = (\vec b_1,\vec b_2,\dots,\vec b_p)\) une base de \(E\) et \(\mathcal{C}_F = (\vec c_1,\vec c_2,\dots,\vec c_n)\) une base de \(F\). On appelle matrice de \(f\) de la base \(\mathcal{B}_E\) dans la base \(\mathcal{C}_F\), notée \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{C}_F,\mathcal{B}_E}(f)\), la matrice définie par :
(la colonne \(K_j\) de \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{C}_F,\mathcal{B}_E}(f)\) est constituée des coordonnées du vecteur \(f(\vec b_j)\) dans la base \(\mathcal{C}\) de \(F\))
Soit \(\mathcal{B}_E = (\vec b_1,\vec b_2,\dots,\vec b_p)\) une base de \(E\) et \(\mathcal{B}_F = (\vec c_1,\vec c_2,\dots,\vec c_n)\) une base de \(F\). Soit \(f \in \mathcal{L}(E,F)\) et soit \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{B}_F,\mathcal{B}_E}(f)\) sa matrice. Pour tout \(\vec u \in E\), on note \(X_{\mathcal{B}_E}\) la matrice des coordonnées de \(\vec u\) dans la base \(\mathcal{B}\) de \(E\). Alors la matrice \(Y_{\mathcal{B}_F}\) des coordonnées de \(\vec v = f(\vec u)\) dans la base \(\mathcal{B}_F\) de \(F\) s'obtient par le calcul :
Pour définir une application linéaire \(f : E \to F\), on peut :
- Option 1 : Donner l'expression de \(f(\vec u)\) pour tout vecteur \(\vec u\) de l'espace de départ \(E\).
- Option 2 : Donner les images de chacun des vecteurs d'une base de l'espace de départ.
- Option 3 : Donner sa matrice. Dans ce cas, on utilise la proposition précédente.
vecteurs → matrices : écrire les coordonnées des vecteurs dans les bases adéquates.
matrices → vecteurs : reconstituer le vecteur à partir de ses coordonnées.
On passe d'une égalité à l'autre : \(\vec v = f(\vec u) \iff Y = M \times X\).
Soit \(f \in \mathcal{L}(E,F)\) et soit \(\mathrm{Mat}_{\mathcal{C},\mathcal{B}}(f)\) sa matrice associée (avec \(\mathcal{B}\) base de \(E\) et \(\mathcal{C}\) base de \(F\)). Soit \(\vec u \in E\). On a l'équivalence :
Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-ev avec \(\dim(E) = n\) et \(\vec u_1,\vec u_2,\dots,\vec u_p\) des vecteurs. On appelle rang de la famille \(\{\vec u_1,\vec u_2,\dots,\vec u_p\}\) le nombre :
Soit \(A \in M_{n,p}(\mathbb{R})\). On note \(K_1,K_2,\dots,K_p\) ses vecteurs colonnes. On appelle rang de \(A\) le nombre \(rg(A) = \dim\,\mathrm{Vect}[K_1,K_2,\dots,K_p]\).
Le rang d'une matrice est égal à celui de sa transposée. Ainsi, pour \(A \in M_{n,p}(\mathbb{R})\), on a : \(rg(A) = rg({}^{t}A)\).
Soit \(f \in \mathcal{L}(E,F)\) et soit \(A = \mathrm{Mat}_{\mathcal{C}_F,\mathcal{B}_E}(f)\) (où \(\mathcal{B}_E = (\vec e_1,\dots,\vec e_n)\) base de \(E\) et \(\mathcal{C}_F\) base de \(F\)).
- On appelle rang de \(f\) le nombre défini par \(rg(f) = \dim(\mathrm{Im}\,f)\).
- On a \(rg(f) = rg(A)\). Ainsi, le rang d'une application linéaire est égal à celui d'une matrice qui la représente.
Démonstration : Par définition du rang d'une application linéaire, on a \(rg(f) = \dim[\mathrm{Im}\,f] = \dim\,\mathrm{Vect}[f(\vec e_1),f(\vec e_2),\dots,f(\vec e_p)]\). Alors, par construction de la matrice \(A\), on a : \(rg(f) = rg(\{f(\vec e_1),\dots,f(\vec e_n)\}) = \dim\,\mathrm{Vect}[K_1,\dots,K_p] = rg(A)\).
Soit \(E\) un ev de dimension finie et soit \(F\) un ev quelconque. Soit \(f\) une application linéaire de \(E\) dans \(F\). On a :
\[\dim(E) = \dim(\ker f) + \dim(\mathrm{Im}\,f)\]
Soient \(E\) et \(F\) deux \(\mathbb{R}\)-ev de dimension finie et soit \(f \in \mathcal{L}(E,F)\).
- Si \(f\) est injective et si \(\dim(E) = \dim(F)\) alors \(f\) est bijective.
- Si \(f\) est surjective et si \(\dim(E) = \dim(F)\) alors \(f\) est bijective.
Démonstration à savoir faire : à l'aide du théorème du rang, démontrer la proposition précédente.
Soit \(E\) et \(F\) deux \(\mathbb{R}\)-ev de dimension finie et soit \(f \in \mathcal{L}(E,F)\). \(f\) est un isomorphisme de \(E\) dans \(F\) ssi \(f\) transforme une base de \(E\) en une base de \(F\).