Dans ce chapitre, sauf mention du contraire, $x_0 \in \overline{\mathbb{R}}$ (càd $x_0$ réel ou infini) et $D$ est un voisinage ouvert de $x_0$. Les fonctions sont définies sur $U$ avec $U = D$ ou $U = D \setminus \{x_0\}$.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage de $x_0$ avec $g$ ne s'annulant pas au voisinage de $x_0$.
- On dit que $f$ et $g$ sont équivalentes au voisinage de $x_0$ et on note $f \underset{x_0}{\sim} g \iff \displaystyle\lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 1$
- On dit que $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $x_0$ et on note $f \underset{x_0}{=} o(g) \iff \displaystyle\lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = 0$
On a alors :
\[f \underset{x_0}{\sim} g \quad \Longleftrightarrow \quad f(x) = g(x) + o[g(x)]\]Si $f = g + h$ avec $h \underset{x_0}{=} o(g)$ alors $f \underset{x_0}{\sim} g$.
Si $f$ et $g$ sont équivalentes en $x_0$ alors :
- si $\displaystyle\lim_{x\to x_0} g(x) = L$ (avec $L$ réel ou infini) alors $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = L$
- si $g$ n'a pas de limite en $x_0$ alors $f$ n'a pas de limite en $x_0$
En $+\infty$ : $\forall \alpha>0,\ \forall \beta>0,\quad (\ln x)^{\beta} \underset{+\infty}{=} o(x^{\alpha})$ \ et \ $x^{\alpha} \underset{+\infty}{=} o(e^{\beta x})$
En $0$ : $\forall \alpha>0,\ \forall \beta>0,\quad |\ln x|^{\beta} \underset{0}{=} o\left(\dfrac{1}{x^{\alpha}}\right)$
- Si $f \underset{x_0}{\sim} g$ et $g \underset{x_0}{\sim} h$ alors $f \underset{x_0}{\sim} h$ ; et si $f \underset{x_0}{=} o(g)$ et $g \underset{x_0}{=} o(h)$ alors $f \underset{x_0}{=} o(h)$
- Si $f \underset{x_0}{\sim} g$ et $g \underset{x_0}{=} o(h)$ alors $f \underset{x_0}{=} o(h)$
- On peut multiplier, faire le quotient, mettre à une puissance réelle fixée des équivalents : si $f \underset{x_0}{\sim} g$ et $h \underset{x_0}{\sim} k$ alors $f \times h \underset{x_0}{\sim} g \times k$, $\dfrac{f}{h} \underset{x_0}{\sim} \dfrac{g}{k}$ et $\forall \alpha > 0,\ f^{\alpha} \underset{x_0}{\sim} g^{\alpha}$
Un polynôme est équivalent en $+\infty$ à son terme de plus haut degré et en $0$ à son terme de plus bas degré.
Ainsi, pour un polynôme $P(x) = a_r x^r + a_{r+1}x^{r+1} + \cdots + a_n x^n$ avec $r < n$, $a_n \neq 0$ et $a_r \neq 0$, on a :
\[P(x) \underset{x\to+\infty}{\sim} a_n x^n \qquad \text{et} \qquad P(x) \underset{x\to 0}{\sim} a_r x^r\]Soit $f$ une fonction telle que $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x) = L \in \mathbb{R}$. Si $L \neq 0$ alors $f(x) \underset{x_0}{\sim} L$.
- Si $f \underset{x_0}{\sim} g$ avec $\displaystyle\lim_{x\to x_0} g(x) = 0$ alors $\ln(f) \underset{x_0}{\sim} \ln(g)$
- Si $f \underset{x_0}{\sim} g$ avec $\displaystyle\lim_{x\to x_0} g(x) = +\infty$ alors $\ln(f) \underset{x_0}{\sim} \ln(g)$
- Si la quantité à étudier est sous forme de produit, quotient ou puissance réelle fixée, on cherche un équivalent de chaque terme puis on reconstitue la quantité de départ.
- Si la quantité à étudier est sous forme de somme, on identifie les quantités négligeables puis on travaille avec des égalités (quitte à faire un DL).
On se ramène à une étude en $0$ par changement de variable.
- Poser $t = x - x_0$
- La quantité de départ, $f(x)$, devient une nouvelle fonction $g(t)$ (car $f(x) = f(t+x_0) = g(t)$)
- On cherche alors un équivalent en $0$ de $g(t)$
- On remplace ensuite $t$ par $x - x_0$ dans l'expression obtenue
On utilise les croissances comparées pour repérer les quantités négligeables et on utilise les propriétés des équivalents pour trouver l'équivalent d'un produit, d'un quotient, d'une puissance et d'une somme.
On peut aussi se ramener à $0$ par changement de variable (par exemple en posant $t=\dfrac{1}{x}$).
On ne peut pas faire de somme avec « $\sim$ » ; il faut donc se ramener à des égalités. Par exemple, $\sin(x) \underset{0}{\sim} x$ et $\ln(1+x) \underset{0}{\sim} x$ donc $\sin(x) + \ln(1+x) = 2x + o(x)$.
Par contre, $[\sin(x)] - \ln(1+x) = o(x)$ donc il faut plus d'info pour avoir l'équivalent. C'est dans cette situation qu'on va utiliser les DL.
On appelle développement limité à l'ordre $n$ en $0$ de $f$, l'égalité, notée $DL_n(0)$ de $f$, écrite pour tout $x$ proche de $0$ :
\[f(x) = P(x) + x^n \varepsilon(x) \quad \text{avec} \quad \lim_{x\to0}\varepsilon(x)=0 \ \text{et} \ P \in \mathbb{R}_n[x]\]Ainsi $f$ admet un $DL_n(0)$ $\iff$ $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots + a_{n-1}x^{n-1} + a_n x^n + o(x^n)$
On pourrait prolonger ces écritures pour obtenir des DL à des ordres supérieurs. Ainsi, $e^x = 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dfrac{x^5}{5!}+o(x^5)$ et $\ln(1+x) = x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+o(x^4)$.
i) Obtention d'un équivalent à partir d'un DL : Si $f$ admet un $DL_n(0)$ donné par $f(x) = a_p x^p + a_{p+1}x^{p+1}+\cdots+a_n x^n + o(x^n)$ avec $a_p \neq 0$, alors $f(x) \underset{0}{\sim} a_p x^p$.
ii) Obtention d'un DL à partir d'un équivalent : Si $f(x) \underset{0}{\sim} a x^{\alpha}$ (avec $a \neq 0$) alors $f(x) = a x^{\alpha} + o(x^{\alpha})$, c'est le $DL_{\alpha}(0)$ de $f$ (par contre, pour un DL à un ordre supérieur, il faudra faire autrement !)
Si on connaît un $DL_n(0)$ de $f$ et de $g$ avec : $f(x)=A(x)+o(x^n)$ et $g(x)=B(x)+o(x^n)$. Alors :
- le $DL_n(0)$ de $f+g$ et de $\lambda f$ s'obtiennent par : $(f+g)(x) = A(x)+B(x)+o(x^n)$ et $(\lambda f)(x) = \lambda A(x) + o(x^n)$
- le $DL_n(0)$ de $f \times g$ s'obtient par : $(f\times g)(x) = C(x) + o(x^n)$ où $C(x)$ est le polynôme obtenu en effectuant le produit $A(x)\times B(x)$ et en ne gardant que les termes de degré $\leqslant n$.
Si $f$ admet un $DL_n(0)$ donné par $f(t) = A(t)+o(t^n)$. Alors :
- $x \mapsto f(\alpha x)$ admet un $DL_n(0)$ donné par : $f(\alpha x) = A(\alpha x) + o(x^n)$
- $x \mapsto f(x^2)$ admet un $DL_n(0)$ donné par : $f(x^2) = R(x) + o(x^n)$ où $R(x)$ s'obtient en ne gardant que les termes de degré inférieur ou égal à $n$ de $A(x^2)$.
On utilise les DL pour chercher l'équivalent des termes restant dans une somme, une fois enlevés tous les termes négligeables.
On appelle développement limité à l'ordre $n$ en $x_0$ de $f$, l'égalité, notée $DL_n(x_0)$ de $f$, écrite pour tout $x$ proche de $x_0$ :
\[f(x) = P(x-x_0) + (x-x_0)^n \varepsilon(x) \quad \text{avec} \quad \lim_{x\to x_0}\varepsilon(x)=0 \ \text{et} \ P \in \mathbb{R}_n[x]\]$f$ admet un $DL_n(x_0)$ $\iff$ $f(x) = a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n)$
Soit $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ deux suites avec $\forall n \in \mathbb{N}$, $v_n \neq 0$.
- On dit que les suites $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ sont équivalentes et on note $u_n \sim v_n$ ssi $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=1$.
- On dit que $(u_n)$ est négligeable devant $(v_n)_n$ ssi $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=0$. On note alors $u_n = o(v_n)$.
- On a : $u_n \sim v_n \iff u_n = v_n + o(v_n)$
Dans le tableau ci-dessous, une suite donnée est négligeable devant toute suite écrite à sa droite (échelle de comparaison) :
| Logarithmes | Puissances | Exponentielles | Factorielle |
|---|---|---|---|
| $\sqrt{\ln n}\ \ \ln(n)\ \ (\ln n)^2$ | $\sqrt n \ \ n^2 \ \ n^4$ | $2^n \ \ e^n \ \ 4^n$ | $n!$ |
- Si $u_n \sim v_n$ et $v_n \sim w_n$ alors $u_n \sim w_n$
- Si $u_n \sim v_n$ et $a_n \sim b_n$ alors : $u_n \times a_n \sim v_n \times b_n$, $\dfrac{u_n}{a_n} \sim \dfrac{v_n}{b_n}$ et $\forall \alpha \in \mathbb{R}$ fixé, $(u_n)^{\alpha} \sim (v_n)^{\alpha}$
- Si $u_n = o(v_n)$ alors $u_n + v_n \sim v_n$
- Si $u_n \sim v_n$ avec $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n = L$ (avec $L$ réel ou infini) alors $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = L$
- Si $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = L$ avec $L \in \mathbb{R}$ et $L \neq 0$ alors $u_n \sim L$
- Si $u_n \sim v_n$ alors $u_n$ et $v_n$ sont de même signe à partir d'un certain rang.
- Si $u_n \sim v_n$ avec $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n = 0$ ou $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} v_n = +\infty$ alors $\ln(u_n) \sim \ln(v_n)$
Si $f(x) \underset{a}{\sim} g(x)$ et si $(x_n)_n$ est une suite telle que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} x_n = a$ (avec $a$ réel ou infini) alors $f(x_n) \underset{n\to+\infty}{\sim} g(x_n)$.
Les résultats et les méthodes établis pour les équivalents de fonctions s'appliquent donc aux suites. On retrouve notamment les équivalents de référence, utilisés avec une suite $(\varepsilon_n)_n$ telle que $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\varepsilon_n=0$.