Espaces vectoriels

Notion d'espace vectoriel et de sous-espace vectoriel

1 — Espaces vectoriels

Définition 1

Soit $E$ un ensemble non vide. On dira que $E$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel (ou $\mathbb{R}$-ev) lorsqu'il existe sur $E$ deux opérations :

une opération interne, notée « $+$ » : $\forall (\vec{u}, \vec{v}) \in E^2, \ \vec{u} + \vec{v} \in E$
une opération externe, notée « $.$ » : $\forall \lambda \in \mathbb{R}, \ \forall \vec{u} \in E, \ \lambda.\vec{u} \in E$

Ces deux opérations doivent en outre vérifier les propriétés suivantes :

$\forall (\vec{u}, \vec{v}) \in E^2, \ \vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ (on dit que « $+$ » est commutative)
$\forall (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \in E^3, \ (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$ (on dit que « $+$ » est associative)
il existe un élément de $E$, appelé vecteur nul et noté $\vec{0}$ ou $0_E$ qui vérifie : $\forall \vec{u} \in E, \ \vec{u} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{u} = \vec{u}$
pour tout $\vec{u} \in E$ il existe un élément $\vec{u'} \in E$ tel que $\vec{u} + \vec{u'} = \vec{u'} + \vec{u} = \vec{0}$. $\vec{u'}$ s'appelle l'opposé de $\vec{u}$ et se note $-\vec{u}$. On a donc $\vec{u} + (-\vec{u}) = (-\vec{u}) + \vec{u} = \vec{0}$
$\forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2, \ \forall \vec{u} \in E, \ (\alpha+\beta).\vec{u} = \alpha.\vec{u} + \beta.\vec{u}$
$\forall \alpha \in \mathbb{R}, \ \forall (\vec{u}, \vec{v}) \in E^2, \ \alpha.(\vec{u}+\vec{v}) = \alpha.\vec{u} + \alpha.\vec{v}$
$\forall (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2, \ \forall \vec{u} \in E, \ (\alpha\beta).\vec{u} = \alpha.(\beta.\vec{u})$
$\forall \vec{u} \in E, \ 1.\vec{u} = \vec{u}$

Les éléments de $E$ sont appelés des vecteurs, les éléments de $\mathbb{R}$ des scalaires.

Les vecteurs définis en géométrie forment un espace vectoriel. On généralise ici cette structure à des espaces plus compliqués (on dira que les éléments de $E$ sont des vecteurs même si ce ne sont pas des vecteurs géométriques).
On utilise au cours de l'année les $\mathbb{R}$-espaces vectoriels usuels suivants : $\mathbb{R}^n$, $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$, $\mathbb{R}[x]$ (polynômes), l'ensemble des suites réelles, et $\mathcal{C}^0(\mathbb{R})$ (fonctions continues sur $\mathbb{R}$).

Dans chacun de ces exemples, un vecteur est un élément de l'ensemble dans lequel on travaille. On écrit $\lambda.\vec{u}$ ; mais ne pas écrire $\vec{u}.\lambda$ (ce qui n'existe pas !) : le réel va toujours devant le vecteur !

Proposition 1

$\forall \lambda \in \mathbb{R}, \ \lambda.\vec{0} = \vec{0}$ et $\forall \vec{u} \in E, \ 0.\vec{u} = \vec{0}$
$\lambda.\vec{u} = \vec{0} \ \Leftrightarrow \ \lambda = 0$ ou $\vec{u} = \vec{0}$

2 — Notion de sous-espaces vectoriels, famille génératrice

Définition 2 · Combinaison linéaire de deux vecteurs

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel. Soit $\vec{u}, \vec{v}$ deux vecteurs de $E$ et soit $\alpha, \beta$ deux réels.

On dit que le vecteur $\vec{w} = \alpha.\vec{u} + \beta.\vec{v}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Définition 3 · Sous-espace vectoriel

Soit $E$ un espace vectoriel. Soit $F$ un sous-ensemble de $E$.

On dit que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ $\ \Leftrightarrow \ $

\[ \begin{cases} F \neq \emptyset \quad (\text{contient le vecteur nul}) \\ \forall \vec{u} \in F, \ \forall \vec{v} \in F, \ \forall (\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2 \ \text{on a} \ \lambda.\vec{u} + \mu.\vec{v} \in F \end{cases} \]

Ainsi $F$ est un ssev de $E$ $\ \Leftrightarrow \ $ $F$ non vide et stable par combinaison linéaire.

Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ alors $F$ contient forcément le vecteur nul $\vec{0}$ ou $0_E$. En effet, $F \neq \emptyset$ donc $F$ contient au moins un vecteur, noté $\vec{x}$. On a alors : $\vec{x} + (-1).\vec{x} = \vec{0} \in F$. Par conséquent, pour prouver que $F \neq \emptyset$, on montrera que $\vec{0} \in F$.

Proposition 2

$\mathbb{R}_n[x]$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}[x]$.

Un sous-espace vectoriel est lui-même un espace vectoriel. Donc, pour prouver qu'un ensemble est un espace vectoriel sans utiliser la définition, on pourra montrer qu'il est ssev d'un $\mathbb{R}$-ev connu. Ainsi, $\mathbb{R}_n[x]$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel.

Définition 4

Soit $E$ un espace vectoriel et soit $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_p$ des vecteurs de $E$.

On appelle combinaison linéaire de ces $p$ vecteurs, tout vecteur $\vec{u}$ du type : $\vec{u} = \lambda_1.\vec{e}_1 + \lambda_2.\vec{e}_2 + \cdots + \lambda_p.\vec{e}_p$ avec $(\lambda_1, \dots, \lambda_p) \in \mathbb{R}^p$
L'ensemble des combinaisons linéaires est un sous-espace vectoriel, noté $\text{Vect}(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_p)$.

Ainsi, $\vec{u} \in \text{Vect}(\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_p) \ \Leftrightarrow \ \vec{u}$ est une CL de $\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_p$ $\ \Leftrightarrow \ \exists (\lambda_1, \dots, \lambda_p) \in \mathbb{R}^p$ tq $\vec{u} = \lambda_1.\vec{e}_1 + \cdots + \lambda_p.\vec{e}_p$.

$\text{Vect}(\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_p)$ est un sous-espace vectoriel de $E$ qui contient $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_p$.

Définition 5 · Famille génératrice

Soit $(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_p)$ une famille constituée de $p$ vecteurs d'un ssev $F$ de $E$.

\[(\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_p) \ \text{famille génératrice de} \ F \ \Leftrightarrow \ F = \text{Vect}(\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_p)\]

Ainsi, la famille $(\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_p)$ est une famille génératrice de $F$ ssi tout vecteur $\vec{u}$ de $F$ se décompose sur cette famille. D'où l'équivalence :

\[(\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_p) \ \text{génératrice de} \ F \ \Leftrightarrow \ \forall \vec{u} \in F, \ \exists (\lambda_1, \dots, \lambda_p) \in \mathbb{R}^p \ \text{tq} \ \vec{u} = \lambda_1.\vec{e}_1 + \cdots + \lambda_p.\vec{e}_p\]

Un même espace peut admettre plusieurs familles génératrices.

Pour déterminer une famille génératrice d'un ssev $F$ :

Écrire l'allure générale d'un vecteur de $E$ : a-t-on $\vec{u} = $ vecteurs de $\mathbb{R}^3$ ? de $\mathbb{R}^n$ ? matrice ? polynôme ? etc. Ceci fournit une écriture avec des coefficients quelconques (= des lettres).
Traduire le fait que $\vec{u} \in F$ pour créer des conditions sur ses coefficients (= exprimer certaines lettres à l'aide des autres).
Reporter dans l'écriture de $\vec{u}$ pour en déduire une égalité $\vec{u} = $ CL de vecteurs fixés (les lettres restantes deviennent les coefficients de la CL).

Famille libre, base

Définition 1

Soit $(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_p)$ une famille constituée de $p$ vecteurs de $E$.

On dit que la famille $(\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_p)$ est liée ssi l'un des vecteurs est une combinaison linéaire des autres.
On dit qu'une famille $(\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_p)$ est libre ssi elle n'est pas liée.

Ainsi $(\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_p)$ est libre ssi

\[ \begin{cases} \forall \lambda_1, \dots, \lambda_p \ \text{des réels tels que} \ \lambda_1.\vec{e}_1 + \lambda_2.\vec{e}_2 + \cdots + \lambda_p.\vec{e}_p = \vec{0} \\ \text{alors} \ \lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_p = 0 \end{cases} \]

La famille $(\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_p)$ est libre ssi la seule manière de créer le vecteur nul est de prendre tous les coefficients nuls.

Regarder si une famille est libre ou liée, c'est chercher comment créer le vecteur nul. On écrira : « cherchons $(\lambda_1, \dots, \lambda_p) \in \mathbb{R}^p$ tel que $\lambda_1.\vec{e}_1 + \cdots + \lambda_p.\vec{e}_p = \vec{0}$ ». On exploite ensuite cette égalité pour déterminer les $(\lambda_i)_{1 \le i \le p}$ :

si on trouve les $(\lambda_i)_{1 \le i \le p}$ tous nuls, la famille est libre.
sinon, la famille est liée et on écrit comment créer $\vec{0}$ (sans paramètres, avec des valeurs !)

Proposition 1

Toute famille de polynômes ayant des degrés deux à deux distincts est une famille libre.

Cette proposition fournit un critère très pratique pour prouver qu'une famille de polynômes est libre. Mais (!) une famille de polynômes peut aussi être libre sans vérifier ce critère.

Proposition 2

Toute famille contenant le vecteur nul est liée.
Une famille $\{\vec{u}\}$ constituée d'un seul vecteur est libre ssi $\vec{u} \neq \vec{0}$.
Toute famille contenue dans une famille libre est libre.

Définition 2 · Base

Soit $E$ un espace vectoriel. On dit qu'une famille de vecteurs $(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n)$ est une base de $E$ ssi cette famille est libre et génératrice de $E$.

Ainsi, $(\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_n)$ est une base de $E$ ssi $\text{Vect}(\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_n) = E$ avec $(\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_n)$ famille libre.

Toutes les bases d'un même espace ont le même nombre de vecteurs : c'est la dimension de l'espace. Ceci fera l'objet d'un prochain paragraphe.

Définition 3

Soit $E$ un espace vectoriel qui admet une base $(\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_n)$ constituée de $n$ vecteurs. On dit que $E$ est un espace de dimension $n$ et on pose $\dim(E) = n$.
Par convention, si $E = \{0_E\}$, on pose $\dim(E) = 0$.

Proposition 3

Bases canoniques des espaces usuels

Les familles suivantes sont des bases des espaces associés. On les appelle bases canoniques :

$\vec{e}_1 = (1,0,\dots,0)$, $\vec{e}_2 = (0,1,0,\dots,0)$, …, $\vec{e}_n = (0,\dots,0,1)$ est la base canonique de $\mathbb{R}^n$. On a donc $\dim(\mathbb{R}^n) = n$.
$(1, x, x^2, \dots, x^n)$ est la base canonique de $\mathbb{R}_n[x]$. Ainsi $\dim(\mathbb{R}_n[x]) = n+1$.
$(E_{1,1}, E_{1,2}, E_{2,1}, E_{2,2})$ (matrices élémentaires) est une base de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Ainsi $\dim(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})) = 4$. De manière plus générale $\dim(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})) = np$.

La proposition précédente fournit des bases de référence pour chacun de ces espaces, mais il en existe d'autres !

Définition 4

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. On dit qu'une famille de vecteurs $(\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_p)$ est une base du ssev $F$ ssi cette famille est libre et génératrice de $F$.

Ainsi, $(\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_p)$ est une base de $F$ ssi $\text{Vect}(\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_p) = F$ et $(\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_p)$ est une famille libre.

Dans ce cas, on note $p = \dim(F)$.

Pour trouver une base d'un ssev $F$, on cherche une famille génératrice de $F$. Si elle est libre, c'est une base. Le nombre de vecteurs permet alors de donner $\dim(F)$.

Proposition 4

Coordonnées dans une base

Soit $(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_n)$ une base de $E$. Tout vecteur de $E$ se décompose de manière unique sur cette famille, c'est-à-dire :

\[\forall \vec{u} \in E, \ \exists ! (\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in \mathbb{R}^n \ \text{tel que} \ \vec{u} = \lambda_1.\vec{e}_1 + \lambda_2.\vec{e}_2 + \cdots + \lambda_n.\vec{e}_n\]

Les $(\lambda_i)_{1 \le i \le n}$ s'appellent les coordonnées de $\vec{u}$ dans la base $(\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_n)$.

L'existence de la décomposition vient du fait que la famille est génératrice ; l'unicité de la décomposition vient du fait que la famille est libre.
Un même espace peut admettre plusieurs bases. La notion de coordonnées est liée à celle de base (on ne peut pas donner l'une sans préciser l'autre).

III

Complément sur la dimension

1 — Nombre de vecteurs d'une famille et dimension

Proposition 1

Soit $E$ un espace vectoriel (dans cette proposition $n, p, r$ sont des entiers de $\mathbb{N}^*$).

Soit $\mathcal{F}_1$ une famille libre constituée de $r$ vecteurs de $E$ et soit $\mathcal{F}_2$ une famille génératrice constituée de $p$ vecteurs de $E$. On a : $r \le p$.
Si $E$ admet une base constituée de $n$ vecteurs alors toutes les bases de $E$ sont constituées de $n$ vecteurs et on pose $n = \dim(E)$.

Si $E$ a une base avec $n$ vecteurs, alors on a : nombre de vecteurs d'une famille libre $\le n \le$ nombre de vecteurs d'une famille génératrice.

2 — Utilisation de la dimension

Proposition 2

Soit $E$ un espace vectoriel avec $\dim(E) = n$. Toute famille libre constituée de $n$ vecteurs de $E$ est une base de $E$.
Soit $F$ un ssev de $E$ avec $\dim(F) = r$. Toute famille libre constituée de $r$ vecteurs de $F$ est une base de $F$.

Proposition 3

Soit $E$ un espace vectoriel avec $\dim(E) = n$. Toute famille génératrice constituée de $n$ vecteurs de $E$ est une base de $E$.
Soit $F$ un ssev de $E$ avec $\dim(F) = r$. Toute famille génératrice constituée de $r$ vecteurs de $F$ est une base de $F$.

Si on connaît la dimension, pour prouver qu'une famille est une base, il suffit de vérifier l'une des deux propriétés (libre ou génératrice) et de compter son nombre d'éléments. Posséder le bon nombre d'éléments ne suffit pas ! (il faut vérifier libre ou génératrice).

Proposition 4

Utilisation de la dimension pour montrer l'égalité de deux sous-espaces

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-ev de dimension finie et soit $F$ et $G$ deux ssev de $E$.

\[ \begin{cases} F \subset G \ \text{ou} \ G \subset F \\ \dim(F) = \dim(G) \end{cases} \ \Leftrightarrow \ F = G \]

Pour prouver que $F = G$, il faudrait normalement prouver la double inclusion. Dans le cas de sous-espaces vectoriels de dimension finie, on montre une des deux inclusions puis on vérifie l'égalité des dimensions. (S'il n'y a pas égalité des dimensions, on revient à la double inclusion : $F \subset G$ et $G \subset F$.)

Proposition 5

Base incomplète

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-ev avec $\dim E = n$. Soit $(\vec{e}_1, \vec{e}_2, \dots, \vec{e}_p)$ une famille libre de $E$ (avec $p \le n-1$).

Alors il existe une famille constituée de $n-p$ vecteurs de $E$, $(\vec{u}_{p+1}, \vec{u}_{p+2}, \dots, \vec{u}_n)$, telle que $(\vec{e}_1, \dots, \vec{e}_p, \vec{u}_{p+1}, \dots, \vec{u}_n)$ soit une base de $E$.