Fonction d'une variable réelle

I

Introduction

Dans un texte mathématique, on peut utiliser des mots, des symboles mathématiques ou un mélange des deux. Lorsqu'on écrit une phrase mathématique faisant intervenir des lettres, il faut préciser la signification de toutes les lettres utilisées. Pour cela, on utilise les quantificateurs :

\(\forall\) (= quel que soit) ou \(\exists\) (= il existe)

Une affirmation mathématique est vraie lorsqu'on peut en donner une justification grâce à l'emploi d'un théorème, d'une propriété ou d'une démonstration. Pour justifier qu'elle est fausse, on écrit toujours un contre-exemple.

On écrira toujours le lien logique en français (d'où, donc, équivaut) entre plusieurs affirmations mathématiques pour expliquer la progression du raisonnement.

II

Éléments d'analyse

1 — Vocabulaire lié aux fonctions

Définition 1Domaine de définition

On appelle domaine de définition d'une fonction \(f\) l'ensemble des réels \(x\) tels que \(f(x)\) ait un sens. On le note en général \(D_f\).

Si le texte définit une fonction \(f\) sur un ensemble \(I\), il faut toujours vérifier que \(f(x)\) a un sens pour tout \(x \in I\).

Définition 2Parité

Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(I\) centré en \(0\).

— \(f\) est une fonction paire ssi \(\forall x \in I,\; f(-x) = f(x)\). La courbe \(\mathcal{C}_f\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

— \(f\) est une fonction impaire ssi \(\forall x \in I,\; f(-x) = -f(x)\), c'est-à-dire \(f(-x) + f(x) = 0\). La courbe \(\mathcal{C}_f\) admet l'origine comme centre de symétrie.

Définition 3Périodicité

On dit qu'une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) est périodique de période \(T\) ssi :

\[\forall x \in \mathbb{R},\quad f(x + T) = f(x)\]

Définition 4Monotonie

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\). On dit que :

— \(f\) est croissante sur \(I\) ssi \(\forall (a, b) \in I^2,\; a \leq b \Rightarrow f(a) \leq f(b)\)

— \(f\) est décroissante sur \(I\) ssi \(\forall (a, b) \in I^2,\; a \leq b \Rightarrow f(a) \geq f(b)\)

— \(f\) est monotone sur \(I\) ssi \(f\) est croissante ou décroissante sur \(I\)

La monotonie permet d'obtenir des inégalités. Par exemple, la monotonie de \(x \mapsto e^x\) permet de justifier que \(\forall x \geq 0,\; e^x \geq 1\).

Définition 5Valeur absolue

Pour tout réel \(a\) :

\[|a| = \begin{cases} a & \text{si } a \geq 0 \\ -a & \text{si } a < 0 \end{cases}\]

Propriétés :

— \(\forall (a, b) \in \mathbb{R}^2 : |a \times b| = |a| \times |b|\) et \(|a + b| \leq |a| + |b|\)

— \(\forall a \in \mathbb{R} : |-a| = |a|\) et \(\sqrt{a^2} = |a|\)

— Pour \(a > 0\) : \(|x| \leq a \Longleftrightarrow -a \leq x \leq a\)

— Si \(b \neq 0\) : \(\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|}\) et \(|x| = 1 \Longleftrightarrow x = 1\) ou \(x = -1\)

Définition 6Fonction bornée

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\). On dit que :

— \(f\) est majorée sur \(I \Longleftrightarrow \exists M \in \mathbb{R}\) tel que \(\forall x \in I,\; f(x) \leq M\)

— \(f\) est minorée sur \(I \Longleftrightarrow \exists m \in \mathbb{R}\) tel que \(\forall x \in I,\; f(x) \geq m\)

— \(f\) est bornée sur \(I \Longleftrightarrow \exists B \in \mathbb{R}_+\) tel que \(\forall x \in I,\; |f(x)| \leq B\)

\(f\) est bornée sur \(I\) si et seulement si \(f\) est à la fois majorée et minorée sur \(I\).

2 — Fonctions de référence

a) Fonction carrée, inverse et racine carrée

Fonction carrée : \(f : x \mapsto x^2\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). \(f'(x) = 2x\). Croissante sur \([0, +\infty[\) et décroissante sur \(]-\infty, 0]\).

Fonction inverse : \(g : x \mapsto \dfrac{1}{x}\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}^*\). \(g'(x) = -\dfrac{1}{x^2}\). Décroissante sur \(]-\infty, 0[\) et sur \(]0, +\infty[\).

Fonction racine carrée : \(h : x \mapsto \sqrt{x}\), définie sur \([0, +\infty[\), dérivable sur \(]0, +\infty[\). \(h'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\).

Limites fondamentales — Fonction inverse

\[\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty \qquad \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty\]

b) Fonction exponentielle et logarithme

Fonction exponentielle : \(f : x \mapsto e^x\), définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\). \(f'(x) = e^x > 0\). Strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). \(e^0 = 1\), \(e^1 = e\).

Fonction logarithme : \(f : x \mapsto \ln(x)\), définie et dérivable sur \(]0, +\infty[\). \(f'(x) = \dfrac{1}{x} > 0\). Strictement croissante sur \(]0, +\infty[\). \(\ln(1) = 0\), \(\ln(e) = 1\).

Limites et réciproque

\[\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \qquad \lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty\]

La fonction logarithme est la réciproque de l'exponentielle :

\[\forall y > 0,\; e^{\ln(y)} = y \qquad \text{et} \qquad \forall x \in \mathbb{R},\; \ln(e^x) = x\]

Propriétés algébriques

\[\forall (a, b) \in \mathbb{R}^2 : \quad e^a \cdot e^b = e^{a+b}, \quad \frac{1}{e^a} = e^{-a}, \quad \frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}, \quad (e^a)^b = e^{ab}\]

\[\forall (a, b) \in ]0,+\infty[^2 : \quad \ln(ab) = \ln a + \ln b, \quad \ln\!\left(\tfrac{1}{a}\right) = -\ln a, \quad \ln\!\left(\tfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b\]

\[\forall a > 0,\; \forall b \in \mathbb{R} : \quad \ln(a^b) = b \ln a \qquad \text{et} \qquad a^b = e^{b \ln a}\]

Croissances comparées

\[\forall n \in \mathbb{N}^* : \quad \lim_{u \to +\infty} \frac{e^u}{u^n} = +\infty, \quad \lim_{u \to +\infty} u^n e^{-u} = 0, \quad \lim_{u \to +\infty} \frac{\ln u}{u^n} = 0, \quad \lim_{u \to 0^+} u^n \ln u = 0\]

c) Fonctions trigonométriques

Sinus et cosinus : dérivables sur \(\mathbb{R}\), \((\sin)'(x) = \cos(x)\), \((\cos)'(x) = -\sin(x)\). Périodiques de période \(2\pi\), bornées : \(\forall x \in \mathbb{R},\; -1 \leq \cos x \leq 1\) et \(-1 \leq \sin x \leq 1\). \(\sin\) est impaire, \(\cos\) est paire.

Tangente : définie sur \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi,\; k \in \mathbb{Z}\right\}\) par \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\). Périodique de période \(\pi\), impaire, \(\tan(0) = 0\), \(\tan\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 1\).

\[(\tan)'(x) = 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} > 0\]

Continue et strictement croissante sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[\), réalisant une bijection de \(\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[\) sur \(\mathbb{R}\).

d) Fonction arctangente

DéfinitionArctangente

On appelle \(\arctan\) l'unique primitive sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(t \mapsto \dfrac{1}{1+t^2}\) qui s'annule en \(0\).

Propriétés de arctan

Dérivable sur \(\mathbb{R}\) : \((\arctan)'(x) = \dfrac{1}{1+x^2}\)

Réciproque de \(\tan\) sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[\) : \(\arctan(\tan x) = x\) et \(\tan(\arctan t) = t\)

Impaire, \(\arctan(0) = 0\), \(\arctan(1) = \dfrac{\pi}{4}\), \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \arctan x = \dfrac{\pi}{2}\)

Bornée sur \(\mathbb{R}\) : \(\forall x \in \mathbb{R},\; |\arctan x| \leq \dfrac{\pi}{2}\)

Pour toute fonction \(u\) dérivable : \([\arctan(u)]' = \dfrac{u'}{1 + u^2}\)

3 — Compléments trigonométriques

e) Angles associés

Formule	Formule
\(\cos(-a) = \cos a\)	\(\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2} - a\right) = \sin a\)
\(\sin(\pi - a) = \sin a\)	\(\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2} - a\right) = \cos a\)
\(\cos(\pi + a) = -\cos a\)	\(\sin(a - \pi) = -\cos a\)

f) Valeurs remarquables

\(\alpha\)	\(0\)	\(\dfrac{\pi}{6}\)	\(\dfrac{\pi}{4}\)	\(\dfrac{\pi}{3}\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)	\(\pi\)
\(\sin(\alpha)\)	\(0\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)	\(0\)
\(\cos(\alpha)\)	\(1\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(0\)	\(-1\)
\(\tan(\alpha)\)	\(0\)	\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)	\(\blacksquare\)	\(0\)

g) Formules trigonométriques

Pythagore trigonométrique

\[\cos^2 a + \sin^2 a = 1\]

Formules de la somme

\[\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b\]

\[\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b\]

Formules de l'angle double

\[\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a\]

\[\sin(2a) = 2 \sin a \cos a\]

Formules de linéarisation

\[\cos^2 a = \frac{1 + \cos 2a}{2} \qquad \sin^2 a = \frac{1 - \cos 2a}{2}\]

4 — Composition de fonctions

Définition 7Composée \(g \circ f\)

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(I\) et \(J\) respectivement. Pour que \(g \circ f\) soit définie sur \(I\), il faut que \(\forall x \in I,\; f(x) \in J\). On a alors :

\[(g \circ f)(x) = g(f(x))\]

III

Calcul des limites

Dans toute cette section, \(a\) est un nombre réel ou \(\pm\infty\), et \(f, g\) sont deux fonctions définies au voisinage de \(a\).

1 — Opérations sur les limites

Limite d'une somme

\(\lim_{x\to a} f(x)\)	\(L \in \mathbb{R}\)	\(L \in \mathbb{R}\)	\(L \in \mathbb{R}\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)
\(\lim_{x\to a} g(x)\)	\(L' \in \mathbb{R}\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(-\infty\)
\(\lim_{x\to a}(f+g)\)	\(L + L'\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	FI

Limite d'un produit

\(\lim_{x\to a} f(x)\)	\(L \in \mathbb{R}\)	\(+\infty\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(L > 0\)	\(L < 0\)
\(\lim_{x\to a} g(x)\)	\(L' \in \mathbb{R}\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)	\(+\infty\)
\(\lim_{x\to a}(f \cdot g)\)	\(L \cdot L'\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(+\infty\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)

\(\infty \times 0\) est une forme indéterminée ; la limite ne se calcule pas directement par le tableau.

Limite d'un inverse

\(\lim_{x\to a} f(x)\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	\(L \neq 0\)	\(0^+\)	\(0^-\)	\(0\) (sans signe)
\(\lim_{x\to a} \dfrac{1}{f(x)}\)	\(0\)	\(0\)	\(\dfrac{1}{L}\)	\(+\infty\)	\(-\infty\)	pas de limite

Formes indéterminées (FI)

Les formes indéterminées sont : \(\infty - \infty\), \(\infty \times 0\), \(\dfrac{\infty}{\infty}\), \(\dfrac{0}{0}\).

On cherchera alors une autre méthode : factorisation, croissances comparées, développement limité DL1, changement de variable, ou calcul des limites à droite et à gauche.

2 — Changement de variable

Changement de variable dans une limite

Si \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = b\) et \(\displaystyle\lim_{t \to b} g(t) = L\), alors :

\[\lim_{x \to a} g\!\left(f(x)\right) = \lim_{\substack{t \to b \\ t = f(x)}} g(t) = L \qquad (a, b, L \text{ réels ou infinis})\]

3 — Traitement des formes indéterminées

a) Croissances comparées

\[\forall n \in \mathbb{N}^* : \quad \lim_{u \to +\infty} \frac{\ln u}{u^n} = 0, \quad \lim_{u \to +\infty} \frac{e^u}{u^n} = +\infty, \quad \lim_{u \to 0^+} u^n \ln u = 0\]

b) Comparaison et encadrement

Si \(\forall x \in I,\; h(x) \leq f(x) \leq k(x)\), et si \(\displaystyle\lim_{x \to a} h(x) = \lim_{x \to a} k(x) = L\), alors \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L\).

c) Développements limités DL1

Pour les formes indéterminées du type \(\dfrac{0}{0}\), on peut utiliser un DL1(0) :

\[f(x) = f(0) + f'(0)\,x + x\,\varepsilon(x) \quad \text{avec} \quad \lim_{x \to 0} \varepsilon(x) = 0\]

d) Limites à droite et à gauche

Limites à droite et à gauche

En un point réel \(a\) :

\[\lim_{x \to a} f(x) = L \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} \displaystyle\lim_{x \to a^+} f(x) = L_D \\ \displaystyle\lim_{x \to a^-} f(x) = L_G \end{cases} \text{ avec } L_D = L_G\]

Si \(L_D \neq L_G\), alors \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)\) n'existe pas.

IV

Régularité des fonctions

1 — Fonctions dérivables

Définition 1Nombre dérivé

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle ouvert \(I\) de \(\mathbb{R}\) et \(x_0 \in I\). On dit que \(f\) est dérivable en \(x_0\) ssi la limite suivante existe et est finie :

\[\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = L \in \mathbb{R}\]

Ce nombre \(L\) s'appelle le nombre dérivé de \(f\) en \(x_0\) et se note \(f'(x_0)\).

Proposition 1

Dérivabilité et monotonie

Si \(f\) est dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) de \(\mathbb{R}\) :

— \(f' \geq 0\) sur \(I \Longleftrightarrow f\) croissante sur \(I\)

— \(f' \leq 0\) sur \(I \Longleftrightarrow f\) décroissante sur \(I\)

— \(f' = 0\) sur \(I \Longleftrightarrow f\) constante sur \(I\)

2 — Calcul des dérivées

Dérivées des fonctions usuelles

Domaine	\(f(x)\)	\(f'(x)\)	Dérivabilité
\(\forall x \in \mathbb{R}\)	\(c\)	\(0\)	\(\forall x \in \mathbb{R}\)
\(\forall x \in \mathbb{R}\)	\(x\)	\(1\)	\(\forall x \in \mathbb{R}\)
\(\forall x \in \mathbb{R}\)	\(x^n,\; n \in \mathbb{N}\)	\(n\,x^{n-1}\)	\(\forall x \in \mathbb{R}\)
\(\forall x > 0\)	\(x^\alpha,\; \alpha \in \mathbb{R}\)	\(\alpha\,x^{\alpha-1}\)	\(\forall x > 0\)
\(\forall x \in \mathbb{R}^*\)	\(\dfrac{1}{x}\)	\(-\dfrac{1}{x^2}\)	\(\forall x \in \mathbb{R}^*\)
\(\forall x \geq 0\)	\(\sqrt{x}\)	\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)	\(\forall x > 0\)
\(\forall x \in \mathbb{R}\)	\(e^{\alpha x},\; \alpha \in \mathbb{R}\)	\(\alpha\,e^{\alpha x}\)	\(\forall x \in \mathbb{R}\)
\(\forall x > 0\)	\(\ln(x)\)	\(\dfrac{1}{x}\)	\(\forall x > 0\)
\(\forall x \in \mathbb{R}^*\)	\(\ln\|x\|\)	\(\dfrac{1}{x}\)	\(\forall x \in \mathbb{R}^*\)
\(\forall x \in \mathbb{R}\)	\(\sin(x)\)	\(\cos(x)\)	\(\forall x \in \mathbb{R}\)
\(\forall x \in \mathbb{R}\)	\(\cos(x)\)	\(-\sin(x)\)	\(\forall x \in \mathbb{R}\)
\(\forall x \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[\)	\(\tan(x)\)	\(1 + \tan^2(x) = \dfrac{1}{\cos^2(x)}\)	\(\forall x \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[\)
\(\forall x \in \mathbb{R}\)	\(\arctan(x)\)	\(\dfrac{1}{1+x^2}\)	\(\forall x \in \mathbb{R}\)

Opérations sur les dérivées

Soient \(f\) et \(g\) des fonctions dérivables sur un intervalle \(I\) :

\((f + g)' = f' + g'\)

\((kf)' = k f'\) pour \(k \in \mathbb{R}\)

\((f \times g)' = f'g + fg'\)

Si \(g\) ne s'annule pas sur \(I\) : \(\left(\dfrac{1}{g}\right)' = \dfrac{-g'}{g^2}\) et \(\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}\)

Dérivées des fonctions composées

Dans le tableau suivant, \(u\) désigne une fonction dérivable (et \(u > 0\) lorsque précisé) :

Fonction	Dérivée
\((e^u)'\)	\(e^u \cdot u'\)
\((u^n)'\)	\(n\,u^{n-1} \cdot u'\) \((n \in \mathbb{N})\)
\(\left(\dfrac{1}{u}\right)'\)	\(\dfrac{-u'}{u^2}\)
\(\left(\dfrac{1}{u^n}\right)'\)	\(-n\,u^{-n-1} \cdot u'\)
\((\sqrt{u})'\)	\(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) \((u > 0)\)
\([u^\alpha]'\)	\(\alpha\,u^{\alpha-1} \cdot u'\) \((\alpha \in \mathbb{R},\, u > 0)\)
\([\ln u]'\)	\(\dfrac{u'}{u}\) \((u > 0)\)
\([\arctan u]'\)	\(\dfrac{u'}{1 + u^2}\)
\([\cos u]'\)	\(-\sin(u) \cdot u'\)
\([\sin u]'\)	\(\cos(u) \cdot u'\)
\([\tan u]'\)	\((1 + \tan^2 u) \cdot u'\)

Proposition 2

Dérivée d'une composée

Soient \(I\) et \(J\) deux intervalles. On suppose \(u\) dérivable sur \(I\), \(f\) dérivable sur \(J\) et \(u(x) \in J\) pour tout \(x \in I\). La fonction \(f \circ u\) est dérivable sur \(I\) et :

\[\forall x \in I,\quad (f \circ u)'(x) = f'(u(x)) \times u'(x)\]

3 — Fonctions continues et de classe \(\mathcal{C}^1\)

Définition 2Continuité

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\). On dit que \(f\) est continue en \(x_0 \in I\) ssi :

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]

L'ensemble des fonctions continues sur \(I\) se note \(\mathcal{C}^0(I)\).

Définition 3Classe \(\mathcal{C}^1\)

Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(f\) définie sur \(I\). On dit que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(I\) ssi \(f\) est dérivable sur \(I\) avec \(f'\) continue sur \(I\). On note \(f \in \mathcal{C}^1(I)\).

Théorème 2

Stabilité de la régularité

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de régularité parmi : être définie, être continue, être dérivable, être \(\mathcal{C}^1\).

1. Soient \(f\) et \(g\) vérifiant \(\mathcal{P}\) sur \(I\). Alors \(f + g\), \(\lambda f\) (\(\lambda \in \mathbb{R}\)), \(f \times g\) et \(\dfrac{f}{g}\) (si \(g \neq 0\)) vérifient aussi \(\mathcal{P}\) sur \(I\).

2. Soient \(f\) vérifiant \(\mathcal{P}\) sur \(I\), \(g\) vérifiant \(\mathcal{P}\) sur \(J\), avec \(f(x) \in J\) pour tout \(x \in I\). Alors \(g \circ f\) vérifie \(\mathcal{P}\) sur \(I\).

V

Compléments de dérivation

1 — Tangente et écriture locale

Proposition 4

Équation de la tangente en \(x_0\)

Soit \(f\) définie sur un intervalle ouvert \(I\) de \(\mathbb{R}\), dérivable en \(x_0 \in I\). L'équation de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(x_0\) est :

\[y = f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0)\]

Proposition 5

Écriture locale DL1(0)

Soit \(f\) une fonction définie, continue et dérivable en \(0\). On appelle DL1(0) de \(f\) l'égalité :

\[f(x) = f(0) + f'(0)\,x + x\,\varepsilon(x) \quad \text{avec} \quad \lim_{x \to 0} \varepsilon(x) = 0\]

On en déduit notamment :

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \qquad e^x \geq 1 + x \;\; \forall x \in \mathbb{R}\]

2 — Dérivabilité à gauche et à droite

Définition 4Demi-dérivées

Soit \(f\) définie sur \(I\) et \(x_0 \in I\).

— \(f\) est dérivable à droite en \(x_0\) ssi \(\displaystyle\lim_{\substack{x \to x_0 \\ x > x_0}} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\) existe et est finie. On note ce nombre \(f'_d(x_0)\).

— \(f\) est dérivable à gauche en \(x_0\) ssi \(\displaystyle\lim_{\substack{x \to x_0 \\ x < x_0}} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\) existe et est finie. On note ce nombre \(f'_g(x_0)\).

Si \(\displaystyle\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \infty\), alors \(\mathcal{C}_f\) admet en \(x_0\) une tangente verticale d'équation \(x = x_0\).

Proposition 7

Fonctions définies par morceaux

\(f\) est dérivable en \(x_0\) si et seulement si \(f'_d(x_0) = f'_g(x_0)\).

Pour les fonctions définies par morceaux, on applique les théorèmes de régularité sur chaque morceau, puis on étudie séparément la dérivabilité aux points de recollement.

3 — Dérivée seconde et convexité

Proposition 6

Convexité / Concavité

Soit \(f\) définie et dérivable deux fois sur \(I\). On note \(f^{(2)}\) (ou \(f''\)) la dérivée seconde de \(f\).

— Si \(\forall x \in I,\; f^{(2)}(x) \geq 0\) : \(f\) est convexe sur \(I \Rightarrow \mathcal{C}_f\) est au-dessus de ses tangentes.

— Si \(\forall x \in I,\; f^{(2)}(x) \leq 0\) : \(f\) est concave sur \(I \Rightarrow \mathcal{C}_f\) est au-dessous de ses tangentes.

VI

Théorème de la bijection

Proposition 3

Théorème de la bijection

Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \(I\), alors \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(J = f(I)\).

On a alors :

\[\forall b \in J,\; \exists!\, x \in I \text{ tel que } f(x) = b\]

La valeur \(J = f(I)\) est précisée à l'aide du tableau de variation de \(f\).