Quand une borne est infinie ou que la fonction explose : dire si l'aire reste finie, puis la calculer.
Soient \(a \lt b \leqslant +\infty\). Soit \(f\) une fonction continue sur l'intervalle semi-ouvert \([a, b[\).
On définit de même la notion d'intégrale impropre sur un intervalle semi-ouvert \(]a, b]\), avec \(-\infty \leqslant a \lt b\) : on étudie alors la limite de \(x \mapsto \displaystyle\int_x^b f(t)\,\mathrm{d}t\) quand \(x\) tend vers \(a\).
On regarde l'aire de \(a\) jusqu'à \(x\), puis on pousse \(x\) vers \(b\) : l'intégrale converge si cette aire se stabilise sur une valeur finie.
Soient \(\alpha\), \(a\), \(b\) des réels vérifiant \(a \lt b\).
En \(+\infty\), il faut que \(\frac{1}{t^\alpha}\) décroisse assez vite (\(\alpha \gt 1\)) ; en \(0\), qu'elle n'explose pas trop (\(\alpha \lt 1\)). Le cas \(\alpha = 1\) diverge dans les deux cas.
| Intégrale | Converge si et seulement si | Valeur |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-\alpha t}\,\mathrm{d}t\) | \(\alpha \gt 0\) | \(\dfrac{1}{\alpha}\) |
| \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}\) | \(\alpha \gt 1\) | \(\dfrac{1}{\alpha - 1}\) |
| \(\displaystyle\int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha}\) | \(\alpha \lt 1\) | \(\dfrac{1}{1 - \alpha}\) |
La divergence de l'intégrale de Riemann \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{1}{t}\,\mathrm{d}t\) montre qu'il ne suffit pas qu'une fonction \(f : [a, +\infty[ \to \mathbb{R}\) continue tende vers \(0\) en \(+\infty\) pour que l'intégrale impropre \(\displaystyle\int_a^{+\infty} f\) converge.
Soient \(a\) et \(b\) deux réels vérifiant \(a \lt b\), et \(f : [a, b[ \to \mathbb{R}\) une fonction continue. On suppose que \(f\) est prolongeable par continuité en \(b\). Alors l'intégrale impropre \(\displaystyle\int_a^b f\) converge.
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle ouvert \(]a, b[\), avec \(-\infty \leqslant a \lt b \leqslant +\infty\). Soit \(c \in\, ]a, b[\).
On dit que l'intégrale \(\displaystyle\int_{]a,b[} f\) converge si chacune des intégrales \(\displaystyle\int_{]a,c]} f\) et \(\displaystyle\int_{[c,b[} f\) converge. Si c'est le cas, on définit l'intégrale de \(f\) sur \(]a, b[\) par :
\[\int_a^b f = \int_{]a,b[} f = \int_{]a,c]} f + \int_{[c,b[} f.\]Remarques. Cette définition ne dépend pas du choix du réel \(c \in\, ]a, b[\), d'après la relation de Chasles.
Par définition, il suffit que l'une des intégrales \(\displaystyle\int_{]a,c]} f\) et \(\displaystyle\int_{[c,b[} f\) diverge pour que l'intégrale \(\displaystyle\int_{]a,b[} f\) diverge.
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I = \,]a, b[\) (\(a\) éventuellement égal à \(-\infty\), \(b\) éventuellement égal à \(+\infty\)), sauf éventuellement en un nombre fini de points notés \(a_1, \ldots, a_p\), avec \(a_1 \lt \cdots \lt a_p\).
On dit que l'intégrale \(\displaystyle\int_I f\) converge si chacune des intégrales \(\displaystyle\int_{]a,a_1[} f\), \(\displaystyle\int_{]a_1,a_2[} f\), …, \(\displaystyle\int_{]a_{p-1},a_p[} f\), \(\displaystyle\int_{]a_p,b[} f\) converge. Dans ce cas, on définit l'intégrale de \(f\) sur \(I\) par :
\[\begin{aligned} \int_I f = \int_a^b f &= \int_{]a,a_1[} f + \int_{]a_1,a_2[} f + \cdots \\ &\quad + \int_{]a_{p-1},a_p[} f + \int_{]a_p,b[} f. \end{aligned}\]Soient \(I\) un intervalle, et \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur \(I\) sauf éventuellement en un nombre fini de points. On suppose que les intégrales \(\displaystyle\int_I f\) et \(\displaystyle\int_I g\) convergent. Les propriétés déjà connues pour les intégrales de fonctions continues sur un segment sont encore vraies :
Il se peut que \(\displaystyle\int_I (f + g)\) converge sans que \(\displaystyle\int_I f\) et \(\displaystyle\int_I g\) convergent. On n'utilise donc la linéarité de l'intégrale qu'après s'être assuré que chacune des intégrales \(\displaystyle\int_I f\) et \(\displaystyle\int_I g\) converge.
Exemple : \(\displaystyle\int_0^{+\infty} \big(1 + (-1)\big)\,\mathrm{d}t\) converge, mais \(\displaystyle\int_0^{+\infty} 1\,\mathrm{d}t\) diverge.
Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux éléments distincts de \(\mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}\), et \(\varphi\) une fonction de \(]\alpha, \beta[\) (ou \(]\beta, \alpha[\)) dans \(\mathbb{R}\), de classe \(\mathcal{C}^1\) et strictement monotone.
Ainsi, la fonction \(\varphi\) admet une limite, finie ou infinie, en \(\alpha\) et en \(\beta\). Notons \(a = \lim\limits_{\alpha} \varphi\) et \(b = \lim\limits_{\beta} \varphi\). Soit \(f\) une fonction continue de \(]a, b[\) (ou \(]b, a[\)) dans \(\mathbb{R}\).
Alors les intégrales \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) et \(\displaystyle\int_\alpha^\beta f\big(\varphi(t)\big)\varphi'(t)\,\mathrm{d}t\) sont de même nature (toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes). En cas de convergence, elles sont égales :
\[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = \int_\alpha^\beta f\big(\varphi(t)\big)\,\varphi'(t)\,\mathrm{d}t.\]Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\), et \(f\) et \(g\) deux fonctions de \(I\) dans \(\mathbb{R}\), continues sauf éventuellement en un nombre fini de points, et positives. On suppose que \(0 \leqslant f \leqslant g\).
Le mot qui compte est positives : sans cette hypothèse, le théorème ne s'applique pas.
Soient \(I = [a, b[\) un intervalle semi-ouvert de \(\mathbb{R}\), et \(f\) et \(g\) deux fonctions de \(I\) dans \(\mathbb{R}\), continues et positives au voisinage de \(b\). On suppose \(f(x) \underset{x \to b}{\sim} g(x)\). Alors :
\[\int_a^b f \text{ converge} \iff \int_a^b g \text{ converge.}\]Autrement dit, les intégrales \(\displaystyle\int_a^b f\) et \(\displaystyle\int_a^b g\) sont de même nature.
Remarques. En pratique, il suffit de vérifier que l'une ou l'autre des deux fonctions \(f\) et \(g\) est positive au voisinage de \(b\) : l'hypothèse \(f(x) \underset{x \to b}{\sim} g(x)\) implique qu'alors l'autre est elle aussi positive au voisinage de \(b\).
On obtient bien entendu une règle analogue sur un intervalle semi-ouvert du type \(I = \,]a, b]\).
Soient \(I\) un intervalle et \(f : I \to \mathbb{R}\) une fonction continue sauf éventuellement en un nombre fini de points. L'intégrale \(\displaystyle\int_I f\) est dite absolument convergente si l'intégrale \(\displaystyle\int_I |f|\) est convergente.
La convergence absolue d'une intégrale implique sa convergence.
Soient \(f\) et \(g\) des fonctions continues de \([a, b[\) dans \(\mathbb{R}\), \(g\) positive au voisinage de \(b\), telles que \(f(x) = \underset{x \to b}{o}\big(g(x)\big)\). Alors :
\[\int_a^b g \text{ converge} \implies \int_a^b f \text{ converge.}\]La contraposée : \(\displaystyle\int_a^b f\) diverge \(\implies \displaystyle\int_a^b g\) diverge.
La fonction \(t \mapsto \frac{\ln t}{t^2}\) est continue et positive sur \([1, +\infty[\). Par croissances comparées, \(\dfrac{\ln t}{t^2} = \dfrac{\ln t}{t^{1/2}} \cdot \dfrac{1}{t^{3/2}} = \underset{t \to +\infty}{o}\left(\dfrac{1}{t^{3/2}}\right)\). Or \(\displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^{3/2}}\) converge (Riemann, \(\frac32 \gt 1\)) : l'intégrale converge.
L'intégrale \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x\) converge et vaut \(\sqrt{2\pi}\) :
\[\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2}}\,\mathrm{d}x = \sqrt{2\pi}.\]