Soient \(x_1\) et \(x_2\) deux réels vérifiant \(x_1 \leqslant x_2\). On définit le segment \([x_1, x_2]\) comme l'ensemble des réels compris entre \(x_1\) et \(x_2\) :
On vient d'établir l'égalité suivante :
On dit que l'on a paramétré le segment \([x_1, x_2]\). On peut penser à \(t\) comme au temps :
- à l'instant \(t = 0\), un mobile est situé au point d'abscisse \((1-0)x_1 + 0x_2 = x_1\) ;
- à l'instant \(t = 1\), le mobile est situé au point d'abscisse \((1-1)x_1 + 1x_2 = x_2\) ;
- dans l'intervalle de temps \([0, 1]\), le mobile parcourt le segment \([x_1, x_2]\).
Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(f : I \to \mathbb{R}\) une fonction. La fonction \(f\) est dite convexe si, pour tout couple \((x_1, x_2) \in I^2\),
On suppose désormais l'intervalle \(I\) non trivial et \(x_1 \lt x_2\). Dans le plan, notons \(A\) le point de coordonnées \((x_1, 0)\), \(B\) le point de coordonnées \((x_2, 0)\), \(A'\) le point de coordonnées \((x_1, f(x_1))\) et \(B'\) le point de coordonnées \((x_2, f(x_2))\).
Soit \(M' = (x, y)\) un point du plan vérifiant \(x \in I\). Le point \(M'\) appartient au segment \([A', B']\) si et seulement s'il existe un réel \(t \in [0, 1]\) tel que \(\overrightarrow{A'M'} = t\,\overrightarrow{A'B'}\), autrement dit si et seulement s'il existe un réel \(t \in [0, 1]\) tel que :
Autrement dit, le point \(M'\) de la corde \([A', B']\) d'abscisse \(x = (1-t)x_1 + t x_2\) a pour coordonnées \(\big((1-t)x_1 + t x_2,\ (1-t)f(x_1) + t f(x_2)\big)\). Le point \(M\) de la courbe de \(f\) de même abscisse a, lui, pour coordonnées \(\big((1-t)x_1 + t x_2,\ f((1-t)x_1 + t x_2)\big)\).
Ainsi, l'inégalité (1) équivaut exactement à dire que, pour tout couple \((x_1, x_2) \in I^2\) vérifiant \(x_1 \leqslant x_2\), la courbe de \(f\) est située en dessous de la corde joignant le point de coordonnées \((x_1, f(x_1))\) au point de coordonnées \((x_2, f(x_2))\).
Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) non trivial (c'est-à-dire non vide et non réduit à un point) et \(f : I \to \mathbb{R}\) une fonction dérivable. Alors la fonction \(f\) est convexe si et seulement si sa dérivée \(f'\) est croissante.
Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) non trivial et \(f : I \to \mathbb{R}\) une fonction dérivable. Alors la fonction \(f\) est convexe si et seulement si sa courbe est située au-dessus de ses tangentes.
Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) non trivial et \(f : I \to \mathbb{R}\) une fonction dérivable deux fois. Alors la fonction \(f\) est convexe si et seulement si sa dérivée seconde \(f''\) est positive.
Démonstration immédiate : dès lors que \(f\) est deux fois dérivable, la croissance de \(f'\) équivaut à la positivité de sa dérivée \(f''\) ; on conclut avec la proposition 1.
Exemple d'application : pour tout \(x\) réel, \(\exp''(x) = \exp(x) \geqslant 0\), donc la fonction exponentielle est convexe.
En s'appuyant sur l'équivalence des définitions de la convexité données dans la partie précédente (sous réserve que la fonction considérée soit dérivable une ou deux fois), on peut déduire de la positivité de \(f''\) des inégalités de deux types :
- Courbe au-dessus de ses tangentes : si \(f\) est convexe et dérivable en \(x_0\), alors \(\forall x \in I,\ f(x) \geqslant f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\).
- Courbe sous ses cordes : si \(f\) est convexe, alors \(\forall (x_1, x_2) \in I^2,\ \forall t \in [0, 1],\ f\big((1-t)x_1 + t x_2\big) \leqslant (1-t)f(x_1) + t f(x_2)\).
On commence donc par établir la convexité (souvent grâce au signe de \(f''\)), puis on choisit la tangente ou la corde adaptée à l'inégalité voulue. Pour une fonction concave, les inégalités sont renversées (voir la partie IV).
Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) non trivial et \(f : I \to \mathbb{R}\) une fonction dérivable convexe. Supposons qu'il existe \(x_0 \in I\) tel que \(f'(x_0) = 0\) (on dit alors que \(x_0\) est un point critique de \(f\)). Alors la fonction \(f\) admet en \(x_0\) un minimum global, ce qui signifie :
Démonstration. Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) non trivial et \(f : I \to \mathbb{R}\) une fonction dérivable convexe ; d'après ce qui précède, la fonction \(f'\) est croissante. Supposons qu'il existe \(x_0 \in I\) tel que \(f'(x_0) = 0\). La dérivée est donc négative avant \(x_0\) et positive après : on peut tracer le tableau de variations de \(f\) (ici avec \(I = \mathbb{R}\)).
Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(f : I \to \mathbb{R}\) une fonction. La fonction \(f\) est dite concave si, pour tout couple \((x_1, x_2) \in I^2\), pour tout \(t \in [0, 1]\) :
Autrement dit, la fonction \(f\) est concave si la fonction \(-f\) est convexe.
Ainsi, si une fonction \(f\) est concave, en appliquant les résultats qui précèdent à la fonction \(-f\), on obtient immédiatement :
- une fonction \(f\) est concave si et seulement si sa courbe est située au-dessus de ses cordes ;
- une fonction dérivable est concave si et seulement si sa dérivée est décroissante ;
- une fonction deux fois dérivable est concave si et seulement si sa dérivée seconde est négative ;
- une fonction dérivable est concave si et seulement si sa courbe est située en dessous de ses tangentes ;
- si \(f : I \to \mathbb{R}\) est dérivable et concave, et s'il existe \(x_0 \in I\) tel que \(f'(x_0) = 0\), alors la fonction \(f\) admet en \(x_0\) un maximum global.
Exemple : pour tout réel strictement positif \(x\), on a \(\ln'(x) = \dfrac{1}{x}\), et la fonction inverse \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) décroît sur \(\mathbb{R}_+^*\). Par conséquent, la fonction logarithme népérien \(\ln : \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R}\) est concave.
Commençons par énoncer et démontrer un lemme.
Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(f : I \to \mathbb{R}\) une fonction. Alors la fonction \(f\) est convexe si et seulement si :
Sens direct. Supposons la fonction \(f\) convexe. Supposons qu'il existe dans \(I\) trois réels \(x_1, x_2, x_3\) vérifiant \(x_1 \lt x_2 \lt x_3\). Posons \(t = \dfrac{x_2 - x_1}{x_3 - x_1}\). On a bien \(t \in [0, 1]\) et \(x_2 = (1-t)x_1 + t x_3\). Comme la fonction \(f\) est convexe, la définition (1) fournit :
D'une part, en retranchant \(f(x_1)\) membre à membre et en divisant par \(x_2 - x_1 > 0\), on obtient :
D'autre part, en retranchant \(f(x_3)\) membre à membre et en divisant par \(x_3 - x_2 > 0\), on obtient :
Réciproque. Supposons les inégalités « des trois pentes » vraies pour tout triplet \((x_1, x_2, x_3)\) de réels de l'intervalle \(I\) vérifiant \(x_1 \lt x_2 \lt x_3\), et démontrons que \(f\) est convexe. Soient \(x_1\) et \(x_3\) deux éléments de \(I\). Dans le cas \(x_1 = x_3\), il n'y a rien à démontrer. Supposons désormais \(x_1 \lt x_3\), et soit \(t \in [0, 1]\). Posons \(x_2 = (1-t)x_1 + t x_3\).
Si \(t = 0\), alors \(x_2 = x_1\) et l'inégalité (1) est évidente ; si \(t = 1\), alors \(x_2 = x_3\) et elle l'est aussi. Supposons désormais \(t \in ]0, 1[\) : on a donc \(x_1 \lt x_2 \lt x_3\), et les inégalités des trois pentes s'appliquent. En particulier :
En remplaçant \(x_2\) par \((1-t)x_1 + t x_3\), cette inégalité s'écrit \(\dfrac{f((1-t)x_1 + t x_3) - f(x_1)}{t(x_3 - x_1)} \leqslant \dfrac{f(x_3) - f(x_1)}{x_3 - x_1}\), c'est-à-dire, en multipliant membre à membre par \(t(x_3 - x_1) \geqslant 0\) :
Ceci étant vrai pour tout couple \((x_1, x_3)\) d'éléments de \(I\) (on a supposé \(x_1 \leqslant x_3\), mais ce n'est pas une perte de généralité) et pour tout \(t \in [0, 1]\), la fonction \(f\) est convexe. Le lemme est démontré.
Sens direct. Supposons l'intervalle \(I\) non trivial et la fonction \(f : I \to \mathbb{R}\) dérivable et convexe. Fixons \(x_1\) et \(x_2\) dans \(I\) tels que \(x_1 \lt x_2\) et établissons l'inégalité \(f'(x_1) \leqslant f'(x_2)\). Considérons deux réels \(x_1'\) et \(x_2'\) vérifiant \(x_1 \lt x_1' \lt x_2' \lt x_2\). D'après les inégalités des trois pentes, écrites à la fois pour le triplet \((x_1, x_1', x_2')\) et pour le triplet \((x_1', x_2', x_2)\) :
Comme la fonction \(f\) est dérivable en \(x_1\), en faisant tendre \(x_1'\) vers \(x_1\), le taux d'accroissement \(\dfrac{f(x_1') - f(x_1)}{x_1' - x_1}\) tend vers \(f'(x_1)\). De même, le taux d'accroissement \(\dfrac{f(x_2) - f(x_2')}{x_2 - x_2'}\) tend vers \(f'(x_2)\) quand \(x_2'\) tend vers \(x_2\). Par conservation des inégalités par passage à la limite, on en déduit \(f'(x_1) \leqslant f'(x_2)\). Ainsi, la fonction \(f'\) est croissante sur l'intervalle \(I\).
Réciproque. Supposons la fonction \(f'\) croissante. Soient \(x_1\) et \(x_2\) deux éléments de \(I\) vérifiant \(x_1 \lt x_2\), \(t \in [0, 1]\) et \(x = (1-t)x_1 + t x_2\) ; le réel \(x\) appartient au segment \([x_1, x_2]\). Établissons l'inégalité (1). Si \(t = 0\) ou \(t = 1\), elle est évidente. Supposons désormais \(0 \lt t \lt 1\) : on a donc \(x_1 \lt x \lt x_2\).
Comme la fonction \(f\) est dérivable sur le segment \([x_1, x]\), le théorème des accroissements finis s'applique : il existe un réel \(c_1 \in ]x_1, x[\) tel que \(f(x) - f(x_1) = f'(c_1)(x - x_1)\). De même, il existe un réel \(c_2 \in ]x, x_2[\) tel que \(f(x_2) - f(x) = f'(c_2)(x_2 - x)\).
Les inégalités \(x_1 \lt c_1 \lt x \lt c_2 \lt x_2\) et la croissance de \(f'\) impliquent \(f'(c_1) \leqslant f'(c_2)\), qui s'écrit aussi :
En remplaçant \(x\) par \((1-t)x_1 + t x_2\), on a \(x - x_1 = t(x_2 - x_1)\) et \(x - x_2 = (1-t)(x_1 - x_2)\). Après multiplication membre à membre par \(t(1-t)(x_2 - x_1) > 0\), l'inégalité ci-dessus s'écrit :
Ceci prouve que la fonction \(f\) est convexe. L'équivalence est démontrée.
Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) non trivial et \(f : I \to \mathbb{R}\) une fonction dérivable.
Sens direct. Supposons la fonction \(f'\) croissante. Soit \(x_0 \in I\). Une équation de la tangente \(\mathcal{T}\) à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(x_0\) est \(y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)\). Soit \(x_1 \in I\) vérifiant \(x_1 \neq x_0\). Il s'agit de démontrer l'inégalité \(f(x_1) \geqslant f'(x_0)(x_1 - x_0) + f(x_0)\).
Appliquons le théorème des accroissements finis à la fonction \(f\), dérivable sur le segment \([x_0, x_1]\) ou \([x_1, x_0]\) : il existe un réel \(c \in ]x_0, x_1[\) ou \(]x_1, x_0[\) tel que \(f(x_1) - f(x_0) = f'(c)(x_1 - x_0)\).
Réciproque. Supposons que la courbe de \(f\) soit située au-dessus de toutes ses tangentes, et montrons que la fonction \(f'\) est croissante. Soient \(x_1\) et \(x_2\) deux éléments de \(I\) vérifiant \(x_1 \lt x_2\). Une équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(x_1\) est \(y = f'(x_1)(x - x_1) + f(x_1)\). Au point d'abscisse \(x_2\), la courbe de \(f\) est située au-dessus de cette tangente :
D'après le théorème des accroissements finis appliqué à la fonction \(f\), dérivable sur le segment \([x_1, x_2]\), il existe un réel \(c \in ]x_1, x_2[\) tel que \(\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = f'(c)\). On obtient donc \(f'(x_1) \leqslant f'(c)\).
En écrivant de même que la courbe est au-dessus de sa tangente au point d'abscisse \(x_2\), évaluée en \(x_1\), on obtient \(f(x_1) \geqslant f'(x_2)(x_1 - x_2) + f(x_2)\), c'est-à-dire \(\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \leqslant f'(x_2)\), donc \(f'(c) \leqslant f'(x_2)\). D'où :
La fonction \(f'\) est donc croissante. D'après la proposition 1, la fonction \(f\) est convexe.