Questions de cours
- Théorème des valeurs intermédiaires : énoncé et illustration.
- Théorème des accroissements finis : énoncé et illustration.
- Dérivabilité de la bijection réciproque : condition, formule \((f^{-1})'(y_0) = 1/f'(x_0)\), illustration.
- La fonction arctangente : définition, dérivée, allure de la courbe.
- Développements limités usuels en 0 : \(e^x\), \(\ln(1+x)\), \((1+x)^\alpha\), \(\cos\) et \(\sin\).
- Formule de Taylor avec reste intégral et inégalité de Taylor-Lagrange.
- Sommes de Riemann : définition, illustration, théorème de convergence.
Exercices traités
- \(\arctan(x) + \arctan(1/x) = \pi/2\) pour \(x > 0\).
- Croissance comparée : \(\ln x / x \to 0\) en \(+\infty\).
- Limite de \(\left(1 + \frac{a}{n}\right)^n\).
- \(\operatorname{sh}\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\) ; expression de \(\operatorname{argsh}\).
- Suite implicite \(u_n - n\ln(u_n) = 0\) : existence, unicité, monotonie.
- Série exponentielle par l'inégalité de Taylor-Lagrange.
- \(I_n = \int_0^1 (1-t^2)^n\,\mathrm{d}t\) : relation \(I_n = \frac{2n}{2n+1} I_{n-1}\).
- Python : fonctions
integrale(n) et somme(n).
- La famille \((P_0, P_1, P_2, P_3)\) est libre dans \(\mathbb{R}[x]\).
- Un endomorphisme de \(\mathbb{R}[x]\) surjectif non injectif, et un injectif non surjectif.
- Interpolation : \(P \mapsto (P(\alpha_0), \dots, P(\alpha_n))\) est un isomorphisme.
À savoir pour cette semaine
- La colle se termine par un exercice sur les suites réelles et/ou les fonctions réelles d'une variable réelle.
- L'exercice final ne porte pas sur l'algèbre linéaire, réservée à la semaine suivante.
- Les séries et les intégrales impropres n'ont pas encore été révisées.
- La décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples doit être guidée.
- Les fonctions arccosinus et arcsinus ne sont pas au programme.